Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Algoritma manakah yang menemukan lintasan terpendek dari satu sumber pada graf dengan bobot sisi non-negatif?

  1. ADepth-first search (DFS)
  2. BBellman–Ford diperlukan dalam semua kasus
  3. CAlgoritma Dijkstra
  4. DAlgoritma Kruskal
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Masalah penghentian (halting problem) menunjukkan bahwa:

  1. ALoop sebaiknya dihindari
  2. BSetiap program pada akhirnya akan berhenti
  3. CBeberapa program berjalan lebih cepat di komputer yang lebih cepat, sehingga berhenti atau tidaknya bergantung pada perangkat keras
  4. DTidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
3.Struktur dataSedang

Berapakah tinggi kasus terburuk binary search tree dengan n node jika kunci disisipkan dalam urutan terurut?

  1. A√n
  2. B1
  3. Cn (pohon menjadi seperti linked list)
  4. Dlog₂ n
4.Struktur dataSulit

Fenwick tree (binary indexed tree) atas array berisi n bilangan mendukung operasi apa dalam O(log n)?

  1. AKueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
  2. BMencari median dalam O(1)
  3. CMenyisipkan elemen di posisi mana pun
  4. DMengurutkan array dan binary search
5.Teori grafSedang

Ada berapa sirkuit Hamilton H yang berbeda pada graf lengkap K4? Sirkuit yang hanya berbeda dalam simpul awal atau arahnya dianggap sama.

K4
H =
6.Teori grafSulit
131441515773ABCDEF

Algoritma Dijkstra berjalan dari A. Klik simpul yang ditetapkan (dijadikan permanen) pada putaran 4; A sendiri adalah putaran 1.

awal: Aputaran 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Algoritma Dijkstra

Mengapa ini jawabannya

Algoritma Dijkstra bekerja dengan bobot non-negatif; Bellman–Ford menangani bobot negatif; Kruskal membangun pohon rentang minimum (minimum spanning tree).

Jawaban

C · Algoritma Dijkstra
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti

Mengapa ini jawabannya

Turing menunjukkan bahwa halting problem tidak dapat diputuskan (undecidable): mengasumsikan adanya algoritma pemutus menimbulkan kontradiksi dengan program yang melakukan hal sebaliknya.

Jawaban

D · Tidak ada algoritma yang dapat memutuskan untuk setiap program dan input apakah program tersebut akan berhenti
3.Struktur data

Jawaban: C · n (pohon menjadi seperti linked list)

Mengapa ini jawabannya

Penyisipan terurut menghasilkan pohon degeneratif dengan tinggi n, sehingga pencarian menjadi O(n). Pohon seimbang mencegah hal ini.

Jawaban

C · n (pohon menjadi seperti linked list)
4.Struktur data

Jawaban: A · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen

Mengapa ini jawabannya

Fenwick tree menyimpan jumlah parsial atas rentang yang ditentukan oleh bit-bit rendah setiap indeks, sehingga prefix sum maupun pembaruan titik memerlukan O(log n).

Jawaban

A · Kueri prefix sum dan pembaruan satu elemen
5.Teori graf

Jawaban: H = 3

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Hitung

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawaban

H = 3
6.Teori graf

Jawaban: D

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Dijkstra putaran demi putaran

1. A (0): B: 13, C: 14
2. B (13): D: 28
3. C (14): E: 29
4. D (28): F: 35
5. E (29): F: 32
6. F (32)

putaran 4

D

Jawaban

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms