Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Berapa kompleksitas waktu dari: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Berapa kompleksitas waktu dari: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lakukan kerja O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n log n)
3.Struktur dataSedang

Berapa banyak memori yang dipakai adjacency list untuk graf dengan V simpul dan E sisi?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E²)
4.Struktur dataSulit

Dengan simple uniform hashing, berapa waktu yang diharapkan untuk pencarian dalam hash table dengan chaining, n kunci, dan m bucket?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), dengan α = n / m
  3. CO(n)
  4. DO(m)
5.Teori grafSedang

Sebuah pohon memiliki 4 simpul berderajat 3, 3 simpul berderajat 4, dan semua simpul lainnya adalah daun (derajat 1). Berapa daun L yang dimilikinya?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teori grafSulit
1645697118ABCDEF

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · O(n²)

Mengapa ini jawabannya

Badan loop dalam berjalan total n(n + 1) / 2 kali, yang tetap kuadratik.

Jawaban

C · O(n²)
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: D · O(n log n)

Mengapa ini jawabannya

Totalnya n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, dan bilangan harmonik Hn adalah Θ(log n).

Jawaban

D · O(n log n)
3.Struktur data

Jawaban: A · O(V + E)

Mengapa ini jawabannya

Setiap simpul memiliki list dan setiap sisi muncul sekali (berarah) atau dua kali (tak berarah), sehingga hasilnya O(V + E).

Jawaban

A · O(V + E)
4.Struktur data

Jawaban: B · O(1 + α), dengan α = n / m

Mengapa ini jawabannya

Menghitung hash berbiaya O(1) dan panjang rantai yang diharapkan adalah α, sehingga menjaga α tetap terbatas dengan memperbesar tabel memberikan waktu harapan O(1).

Jawaban

B · O(1 + α), dengan α = n / m
5.Teori graf

Jawaban: L = 12

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Lema jabat tangan untuk pohon

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Jawaban

L = 12

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) atas simpul berderajat d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawaban: W = 33

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (4): ambil
BC (5): ambil
BD (6): ambil
DE (7): ambil
BE (8): lewati, membentuk siklus
CE (9): lewati, membentuk siklus
EF (11): ambil

Total bobot

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 11 = 33

Jawaban

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms