Struktur Data dan Algoritma: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 6 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij

Metode

  1. Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
  2. Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
  3. Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
  5. Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).

2Soal latihan

1.Algoritma & kompleksitasSedang

Bagaimana algoritma Prim membangun minimum spanning tree?

  1. AMenumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
  2. BMengurutkan semua sisi berdasarkan bobot dan menambahkan masing-masing kecuali jika membentuk siklus dalam hutan
  3. CMenghapus sisi termahal sampai tidak ada siklus tersisa
  4. DMenjalankan breadth-first search dan menyimpan pohon BFS
2.Algoritma & kompleksitasSulit

Dengan teorema master, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) memiliki solusi:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Struktur dataSedang

Berapa banyak node yang dimiliki perfect binary tree dengan tinggi h, dengan tinggi dihitung dalam sisi?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.Struktur dataSulit

Kompleksitas waktu decrease-key pada binary heap (jika posisi elemen diketahui) adalah:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Teori grafSedang
ABCDEFGSirkuit EulerLintasan Euler, bukan sirkuitbukan keduanya

Apakah graf terhubung ini memiliki sirkuit Euler, lintasan Euler yang bukan sirkuit, atau bukan keduanya? Klik jawaban Anda.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Sirkuit Euler
  2. 2Lintasan Euler, bukan sirkuit
  3. 3bukan keduanya
6.Teori grafSulit
131210931116162ABCDEFG

Carilah total bobot W pohon rentang minimum dari graf berbobot ini.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Larutan

1.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: A · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon

Mengapa ini jawabannya

Algoritma Prim, dengan priority queue berisi sisi penyeberang, berjalan dalam O(E log V) dengan binary heap.

Jawaban

A · Menumbuhkan satu pohon dari simpul awal, setiap kali menambahkan sisi termurah yang keluar dari pohon
2.Algoritma & kompleksitas

Jawaban: C · Θ(n³)

Mengapa ini jawabannya

log₂ 8 = 3, dan n² tumbuh lebih lambat daripada n³, sehingga daun mendominasi: Θ(n³).

Jawaban

C · Θ(n³)
3.Struktur data

Jawaban: C · 2h+1 − 1

Mengapa ini jawabannya

Menjumlahkan 1 + 2 + 4 + ... + 2h menghasilkan 2h+1 − 1; misalnya, tinggi 2 menghasilkan 7 node.

Jawaban

C · 2h+1 − 1
4.Struktur data

Jawaban: A · O(log n)

Mengapa ini jawabannya

Setelah kunci diturunkan, elemen bergeser ke atas (sift up) paling banyak setinggi heap. Fibonacci heap mencapai decrease-key teramortisasi O(1).

Jawaban

A · O(log n)
5.Teori graf

Jawaban: bukan keduanya

Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.

Derajat

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 1

Simpul ganjil

B, D, E, G → 4
bukan keduanya

Jawaban

bukan keduanya
6.Teori graf

Jawaban: W = 35

Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

GB (1): ambil
GE (2): ambil
DF (3): ambil
GC (6): ambil
CE (9): lewati, membentuk siklus
BD (10): ambil
EF (11): lewati, membentuk siklus
BC (12): lewati, membentuk siklus
AB (13): ambil

Total bobot

W = 1 + 2 + 3 + 6 + 10 + 13 = 35

Jawaban

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms