Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 440 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 29 °C. Setelah 20 menit suhunya 255 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 440 °CT_a = 29 °CT(20) = 255 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 200 L air murni. Air garam dengan 0,05 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 2 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 85 menit?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.IntegralSedang

Daerah di bawah y = √(4x) dari x = 0 sampai x = 4 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 4

V =

4.IntegralSulit

Daerah di antara garis y = x dan parabola y = 0,5x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = xy = 0,5x²

V =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·e^x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·e^xx = 0,5

f′(0.5) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 3. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 3

x =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 3 pita. Berikan T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 3

T =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,25 untuk y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 untuk menaksir y₃ ≈ y(0,75).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,25

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,0299 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−20k = 226/411

Selesaikan untuk k

k = ln(411/226)/20 = 0,0299 min⁻¹

Jawaban

k = 0,0299 min⁻¹

2.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 5,726 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 2·0,05 − (2/200)·m = 0,1 − 0,01·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/100

Substitusikan t

m(85) = 10 + (−10)·0,4274 = 5,726 kg

Jawaban

m = 5,726 kg

3.Integral

Jawaban: V = 100,5

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀⁴ 4x dx

Integralkan

V = π·4·4²/2 = 100,5

Jawaban

V = 100,5

4.Integral

Jawaban: V = 3,351

Titik potong

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Metode cincin (washer)

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Integralkan

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Jawaban

V = 3,351

5.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 2,473

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Substitusikan

f′(0,5) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

Jawaban

f′(0,5) = 2,473

6.Turunan

Jawaban: x = −4

Turunan

f′(x) = 3x² + 21x + 36 = 3·(x² + 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −4 atau x = −3

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3

x = −4

Jawaban

x = −4

7.Metode numerik

Jawaban: T = 0,9204

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,993884 + 2·0,913812 + 0,707107 = 5,522497

Kaidah trapesium

T = (0,3333/2)·5,522497 = 0,9204

Jawaban

T = 0,9204

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: y₃ = 0,9077

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 0 + (0,25/2)(1 + 1,062459) = 0,257807

y₂ = 0,257807 + (0,25/2)(1,064407 + 1,258969) = 0,548229

y₃ = 0,548229 + (0,25/2)(1,270695 + 1,60473) = 0,907658

Grafik

y₃ = 0,9077

Jawaban

y₃ = 0,9077

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations