Persamaan Diferensial: latihan soal dan soal ujian

Persamaan diferensial orde pertama dan penerapannya: pertumbuhan dan peluruhan, hukum pendinginan Newton, soal pencampuran, dan persamaan linear dengan faktor integrasi, serta metode Euler dan Heun untuk persamaan tanpa solusi berbentuk rumus.

Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Paket kilat (PDF)Lembar rumus, langkah-langkah metode, dan soal latihan dengan pembahasan lengkap, siap dicetak.

Topik dalam mata kuliah ini

  1. Persamaan diferensialpertumbuhan dan peluruhan eksponensial · Hukum pendinginan Newton · linear orde satuhitungan
  2. Integralpolinomial · eksponen, logaritma, dan substitusi · luas antara kurvahitungan
  3. Turunanaturan pangkat · aturan rantai dan perkalian · garis singgung dan nilai ekstremhitungan
  4. Metode numerikakar dan interpolasi · kaidah trapesium dan Simpson · Euler, Heun, dan Runge–Kuttahitungan

Tips ujian untuk Persamaan Diferensial

  • Kenali jenisnya dulu: terpisahkan, linear, atau model standar seperti pertumbuhan atau pendinginan.
  • Gunakan kondisi awal untuk mencari konstantanya di akhir.
  • Periksa jawaban dengan menyubstitusikannya kembali ke dalam persamaan.

Contoh dengan pembahasan

Persamaan diferensialMudah
rr² + br + c?

Untuk persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari akar r persamaan karakteristik yang paling dekat dengan nol. Akar itu menentukan seberapa lambat penyelesaian mereda.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Tentukan r

Tampilkan petunjuk
  1. Substitusikan y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Persamaan karakteristik

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Akar

r = −1, r = −3
paling dekat dengan nol: r = −1

Jawaban

r = −1

Penyelesaian umumnya adalah y = A·e−1t + B·e−3t.

IntegralSedang
xy2y = x·cos x

Hitung I = ∫₀2 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀2 x·cos x dx

Tentukan I

Tampilkan petunjuk
  1. Ambil u = x dan dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Jawaban

I = 0,4024

Cara kerja latihan

  • “Latih mata kuliah ini” mencampur soal dari semua topiknya, seperti ujian sungguhan.
  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Ujian simulasi memiliki batas waktu dan tanpa petunjuk, dan di akhir Anda mendapat skor serta tinjauan lengkap.

Kalkulator untuk mata kuliah ini

Kalkulator waktu paruh dan peluruhan eksponensialKalkulator turunan dengan langkah-langkahKalkulator integral (tentu dan tak tentu)

Mata kuliah terkait

Matematika TeknikSoal latihan AP CalculusKalkulus 1Matematika Teknik 2Kalkulus 2Metode NumerikStatistika DasarStatistika 2: Inferensi Statistik
Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.