Persamaan diferensial: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Persamaan diferensial gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, Hukum pendinginan Newton, linear orde satu.

Soal latihan gratisMudah
ty1

Sebuah sistem massa–pegas–peredam dinyatakan oleh y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Bandingkan dengan y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 dan cari rasio redaman ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Soal berikutnya →
Berlatih Persamaan diferensial secara gratisBerlatih Persamaan diferensial sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahpertumbuhan dan peluruhan eksponensial
  2. SedangHukum pendinginan Newton
  3. Sulitlinear orde satu

Rumus utama

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Pelajari Persamaan diferensial dari nol

Sebelum ini: Turunan, Integral

1Apa itu persamaan diferensial

Persamaan diferensial menghubungkan suatu besaran dengan laju perubahannya sendiri. Ia menggambarkan bagaimana sesuatu berubah, bukan apa itu.

Bakteri membelah, jadi koloni yang lebih besar tumbuh lebih cepat. Laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah sel N:

dN/dt = k · N

Di sini dN/dt adalah turunan N terhadap waktu t, dan k adalah konstanta laju. Dengan k = 0,4 h⁻¹ dan N = 1000 sel, koloni bertambah 400 sel per jam pada saat itu.

Menyelesaikan persamaan berarti mencari fungsi N(t) itu sendiri. Anda juga memerlukan nilai awal, seperti N(0) = 200. Ini disebut syarat awal.

Tes mandiri Suatu populasi mengikuti dN/dt = 0,2 · N. Saat ini N = 500. Seberapa cepat pertumbuhannya?
  1. 0,2 per jam
  2. 100 per jam
  3. 2500 per jam
  4. 500 per jam

Jawaban: 100 per jam. Masukkan angka ke dalam persamaan: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Membagi 500 dengan 0,2 memberi 2500, yang memakai k secara terbalik.

2Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

Persamaan dy/dt = k·y selalu memiliki solusi yang sama, sebuah fungsi eksponensial:

y(t) = y0 · ekt

Di sini y0 adalah nilai pada t = 0. k positif berarti pertumbuhan. Untuk peluruhan persamaannya dy/dt = −k·y dan solusinya y = y0e−kt.

Peluruhan radioaktif sering dinyatakan dengan waktu paruh-nya t½: waktu yang diperlukan hingga tersisa separuh zat. Konstanta lajunya diperoleh darinya:

k = ln 2 / t½

Untuk mencari waktu, ambil logaritma natural kedua ruas:

t = ln(y / y0) / k

Misalnya, 200 sel yang tumbuh dengan k = 0,4 h⁻¹ mencapai 1000 sel setelah t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Tes mandiri Suatu zat memiliki waktu paruh 10 hari. Anda mulai dengan 80 mg. Berapa yang tersisa setelah 20 hari?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Jawaban: 20 mg. 20 hari adalah dua waktu paruh: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg berasal dari mengira dua separuh membentuk keseluruhan; jumlahnya berkurang separuh setiap kali.

3Pendinginan dan persamaan linear

Hukum pendinginan Newton: benda panas mendingin lebih cepat bila jauh lebih panas daripada ruangan. Dengan suhu ruangan Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Selisih T − Ta meluruh secara eksponensial, jadi suhu bergerak menuju suhu ruangan dan tidak pernah turun di bawahnya.

Untuk mencari k dari satu pengukuran, masukkan nilai yang diketahui lalu ambil ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Persamaan linear orde satu berbentuk y′ + p(x)·y = q(x). Kalikan dengan faktor integrasi μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Lalu integralkan kedua ruas dan bagi dengan μ. Untuk p = 2/x, μ = e2 ln x = x².

Tes mandiri Teh 90 °C dibiarkan di ruangan 20 °C. Suhu berapa yang didekatinya setelah waktu yang sangat lama?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Jawaban: 20 °C. Suku (T0 − Ta)e−kt menuju 0, jadi T mendekati Ta = 20 °C. 0 °C akan menjadi jawaban jika Anda melupakan suhu ruangan.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Kenali jenisnya: dy/dt = ky (pertumbuhan atau peluruhan), pendinginan Newton, atau y′ + p(x)y = q(x).
  2. Tulis solusi baku untuk jenis itu.
  3. Gunakan data yang diberikan untuk mencari konstanta: y0 dari awal, k dari waktu paruh atau pengukuran kedua.
  4. Jawab pertanyaannya: masukkan waktu untuk mencari nilai, atau pakai ln untuk mencari waktu.
  5. Periksa satuan k (h⁻¹, min⁻¹) terhadap satuan t.

Untuk persamaan linear: cari μ, integralkan (μy)′ = μq, tambahkan konstanta C, lalu pakai syarat awal untuk mencari C.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Sebuah perunut radioaktif memiliki waktu paruh 8 hari. Sampel mengandung 60 mg di awal. Peluruhan mengikuti dm/dt = −k·m. Berapa m yang tersisa setelah 12 hari?

1

Kenali jenisnya

Ini peluruhan eksponensial, jadi solusinya:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Cari k dari waktu paruh

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 day⁻¹
3

Masukkan waktunya

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Periksa jawabannya

12 hari adalah 1,5 waktu paruh. Setelah 8 hari tersisa 30 mg dan setelah 16 hari 15 mg, jadi 21,2 mg berada di antara keduanya, seperti diharapkan.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Jawaban

m ≈ 21,2 mg tersisa setelah 12 hari.

6Kesalahan umum

  • Pada hukum pendinginan Newton, lupa mengurangkan dan menambahkan kembali suhu ruangan Ta.
  • Memakai pangkat positif untuk peluruhan, sehingga jumlahnya bertambah, bukan berkurang.
  • Memakai log10, bukan logaritma natural ln.
  • Mencampur satuan waktu, seperti k dalam min⁻¹ dengan t dalam jam.
  • Dengan faktor integrasi, hanya mengalikan ruas kiri dengan μ.
Tes mandiri Sebuah komponen 80 °C mendingin di ruangan 20 °C. Pada suatu waktu t, e−kt = 0,5. Berapa suhunya saat itu?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Jawaban: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Membagi dua 80 secara langsung memberi 40 °C, yang melupakan suhu ruangan.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. Cari jumlah setelah suatu waktu, atau waktu untuk mencapai suatu jumlah, sering dari waktu paruh.
  • Sedang: hukum pendinginan Newton. Pakai satu pengukuran untuk mencari k, lalu cari suhu atau waktu.
  • Sulit: persamaan linear orde satu seperti y′ + 2y/x = 3 dengan y(1) = 1. Pakai faktor integrasi dan cari y pada x lain.

Pemeriksaan cepat: jawaban peluruhan dan pendinginan harus berada di antara nilai awal dan nilai akhir (0, atau suhu ruangan).

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
rr² + br + c?

Untuk persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari akar r persamaan karakteristik yang paling dekat dengan nol. Akar itu menentukan seberapa lambat penyelesaian mereda.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Tentukan r

Tampilkan petunjuk
  1. Substitusikan y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Persamaan karakteristik

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Akar

r = −1, r = −3
paling dekat dengan nol: r = −1

Jawaban

r = −1

Penyelesaian umumnya adalah y = A·e−1t + B·e−3t.

Contoh 2Sedang
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Secangkir kopi bersuhu 81 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 21 °C. Setelah 5 menit suhunya 73 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Tentukan t (min)

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu k dari pengukuran pada t = 5 menit.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Jawaban

t = 25,4 min
Contoh 3Sulit
ty1y(1) = ?

Selesaikan y′ + y = 4e−2t dengan y(0) = 4. Cari y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Tentukan y(1)

Tampilkan petunjuk
  1. Faktor integrasinya μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Gunakan y(0) untuk mencari C.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Penyelesaian umum

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Kondisi awal

4 = −4 + C → C = 8

Hitung nilainya

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Jawaban

y(1) = 2,402

Tanya jawab

Apa itu Persamaan diferensial?

Bakteri membelah, jadi koloni yang lebih besar tumbuh lebih cepat. Laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah sel N:

Di sini dN/dt adalah turunan N terhadap waktu t, dan k adalah konstanta laju. Dengan k = 0,4 h⁻¹ dan N = 1000 sel, koloni bertambah 400 sel per jam pada saat itu.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Persamaan diferensial langkah demi langkah?

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Persamaan diferensial?
  • Itu akar yang lain, lebih jauh dari nol; sukunya mereda lebih cepat.
  • r² + br + c = 0 dengan b dan c positif memiliki akar negatif.
  • −b/2 adalah titik tengah akar-akarnya, bukan akar.
Apa saja yang dilatih dalam soal Persamaan diferensial?
  • Mudah: pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
  • Sedang: Hukum pendinginan Newton
  • Sulit: linear orde satu

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

TurunanIntegral

Lanjutkan dengan

Transformasi LaplaceMetode numerik

Kalkulator

Kalkulator waktu paruh dan peluruhan eksponensial

Mata kuliah dengan topik ini

Matematika TeknikPersamaan DiferensialMatematika Teknik 2Kalkulus 2Metode NumerikSoal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Persamaan diferensial dengan jawaban
Berlatih Persamaan diferensial secara gratisBerlatih Persamaan diferensial sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.