Peluang: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Peluang gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: hasil yang sama mungkin, pencacahan dan komplemen, distribusi binomial.

Soal latihan gratisMudah
jumlah ≥ 4dadu 1dadu 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Dua dadu adil dilempar. Berapa peluang P jumlahnya setidaknya 4?

2 dadu≥ 4

Berikan peluang sebagai desimal antara 0 dan 1.

Soal berikutnya →
Berlatih Peluang secara gratisBerlatih Peluang sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahhasil yang sama mungkin
  2. Sedangpencacahan dan komplemen
  3. Sulitdistribusi binomial

Rumus utama

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Pelajari Peluang dari nol

1Apa itu peluang

Peluang adalah bilangan antara 0 dan 1 yang menyatakan seberapa mungkin sesuatu terjadi. 0 berarti tidak pernah terjadi, 1 berarti selalu terjadi.

Ketika semua hasil sama mungkinnya, hitunglah:

P(A) = banyak hasil yang diharapkan / banyak seluruh hasil

Sebuah kantong berisi 3 bola merah, 5 biru, dan 2 hijau, total 10. Jika Anda mengambil satu secara acak, P(biru) = 5/10 = 0,5.

Dadu yang adil memiliki 6 sisi, sehingga P(enam) = 1/6 ≈ 0,167 dan P(genap) = 3/6 = 0,5.

Peluang juga dapat ditulis sebagai persentase: 0,5 adalah 50%. Jawaban ujian biasanya berupa desimal antara 0 dan 1.

Tes mandiri Sebuah kantong berisi 2 bola merah, 8 biru, dan 4 hijau. Anda mengambil satu secara acak. Berapa P(merah)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Jawaban: 2/14 ≈ 0,143. Ada 2 + 8 + 4 = 14 bola, dan 2 di antaranya merah: 2/14 ≈ 0,143. Membagi dengan 12 hanya menghitung bola lainnya, padahal total harus menyertakan bola merah juga.

2Aturan untuk menggabungkan kejadian

  • Komplemen: P(bukan A) = 1 − P(A). Pakai untuk soal “setidaknya satu”: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada).
  • Dan, kejadian saling bebas: kalikan. Dua koin adil menghasilkan P(dua kepala) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Atau: P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B). Kurangkan irisannya agar tidak terhitung dua kali.

Pengambilan tanpa pengembalian mengubah isi kantong. Setelah satu bola merah diambil, bola merah berkurang satu dan total bola berkurang satu.

Dengan 5 bola merah dan 4 biru, P(dua merah) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Untuk menghitung kelompok yang urutannya tidak penting, pakai kombinasi. Banyaknya cara memilih k butir dari n adalah:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Di sini n! = n · (n − 1) · … · 1. Jadi C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 panitia beranggotakan 4 orang dari 6 orang.

Tes mandiri Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa P(keduanya merah)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Jawaban: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Memakai 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 lupa bahwa bola merah pertama sudah tidak ada di kantong.

3Distribusi binomial

Beberapa soal mengulang percobaan yang sama n kali: menguji 5 komponen, menebak 8 jawaban, melempar koin 3 kali. Setiap percobaan berhasil dengan peluang p, bebas dari yang lain.

Banyaknya keberhasilan X kemudian mengikuti distribusi binomial:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k keberhasilan.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k kegagalan.
  • C(n, k): banyaknya urutan berbeda tempat keberhasilan dapat jatuh.

Untuk “paling banyak satu”, jumlahkan P(X = 0) dan P(X = 1). Untuk “setidaknya satu”, pakai 1 − P(X = 0).

Tes mandiri Anda melempar koin adil 3 kali. Berapa peluang tepat 2 kepala?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Jawaban: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Lupa C(3, 2) menghasilkan 0,125: itu hanya satu urutan, seperti HHT, padahal THH dan HTH juga dihitung.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tuliskan apa satu hasil itu dan berapa banyak hasil seluruhnya.
  2. Terjemahkan kata-katanya: “dan” berarti kalikan, “atau” berarti jumlahkan (dikurangi irisan), “bukan” berarti 1 − P.
  3. Untuk “setidaknya satu”, hitung dulu komplemennya “tidak ada”.
  4. Tanpa pengembalian: turunkan cacah setelah setiap pengambilan. Atau hitung dengan kombinasi.
  5. Percobaan bebas yang berulang dengan p tetap: pakai rumus binomial.
  6. Periksa bahwa jawabannya berada di antara 0 dan 1.

Diagram pohon membantu ketika ada beberapa langkah: kalikan sepanjang satu cabang, dan jumlahkan cabang yang Anda perlukan.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P bahwa setidaknya satu di antaranya merah?

1

Pakai komplemen

“Setidaknya satu merah” memiliki tiga kasus: merah–merah, merah–biru, dan biru–merah. Kebalikannya, “tidak ada merah”, hanya memiliki satu kasus: biru–biru.

P(minimal satu merah) = 1 − P(keduanya biru)
2

Pengambilan pertama

Ada 6 bola biru dari 10.

P(pertama biru) = 6/10
3

Pengambilan kedua

Satu bola biru sudah hilang, jadi tersisa 5 bola biru dari 9.

P(keduanya biru) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Pada pohon, R adalah bola merah dan B bola biru. Cabang yang tebal adalah biru–biru.

4

Ambil komplemennya

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Periksa jawabannya

Hitung dengan kombinasi: ada C(10, 2) = 45 pasangan, dan C(6, 2) = 15 di antaranya biru–biru. 15/45 = 1/3, sama seperti sebelumnya.

Ketiga cabang pohon lainnya berjumlah 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 juga.

Jawaban

P = 2/3 ≈ 0,667

6Kesalahan umum

  • Menjumlahkan peluang untuk “setidaknya satu”, bukan memakai 1 − P(tidak ada).
  • Lupa menurunkan cacah saat mengambil tanpa pengembalian.
  • Lupa faktor C(n, k) dalam rumus binomial.
  • Membagi dengan total yang salah, misalnya hanya warna lainnya.
  • Memberikan peluang di atas 1 atau di bawah 0. Itu selalu tanda kesalahan.
Tes mandiri Anda melempar dadu adil dua kali. Berapa peluang setidaknya satu enam?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Jawaban: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(tidak ada enam) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Menjumlahkan 1/6 + 1/6 menghasilkan 1/3, yang menghitung kasus dua enam sebanyak dua kali.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: hasil yang sama mungkinnya. Satu pengambilan dari kantong bola berwarna, atau satu lemparan dadu.
  • Sedang: pencacahan dan komplemen. Panitia dengan C(n, k), atau dua pengambilan tanpa pengembalian.
  • Sulit: distribusi binomial. Tepat k keberhasilan, atau “paling banyak satu” sebagai P(X = 0) + P(X = 1).

Berikan jawaban sebagai desimal antara 0 dan 1, dibulatkan hingga tiga atau empat desimal.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Tabel memberikan distribusi peluang X, tetapi satu peluang hilang. Cari P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Tentukan P(X = 1)

Tampilkan petunjuk
  1. Semua peluang suatu distribusi berjumlah 1.
  2. Jumlahkan peluang yang diketahui.
  3. P = 1 − 0,75.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Jumlah peluang yang diketahui

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Peluang yang hilang

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Jawaban

P(X = 1) = 0,25
Contoh 2Sedang
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Tentukan Var(X)

Tampilkan petunjuk
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Lalu E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Variansi

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Jawaban

Var(X) = 1,848
Contoh 3Sulit
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Sebuah tes memiliki 12 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,3, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?

n = 12p = 0,3k = 5

Tentukan P

Tampilkan petunjuk
  1. Ini distribusi binomial: jumlah percobaan saling bebas yang tetap, peluang sukses yang sama.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Jawaban

P = 0,1585

Tanya jawab

Apa itu Peluang?

Peluang adalah bilangan antara 0 dan 1 yang menyatakan seberapa mungkin sesuatu terjadi. 0 berarti tidak pernah terjadi, 1 berarti selalu terjadi.

Ketika semua hasil sama mungkinnya, hitunglah:

Bagaimana cara menyelesaikan soal Peluang langkah demi langkah?

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Peluang?
  • Itu jumlah peluang yang diketahui. Peluang yang hilang adalah 1 dikurangi jumlah itu.
  • Nilai-nilainya tidak sama mungkin: gunakan fakta bahwa semua peluang berjumlah 1.
  • E(X²) bukan variansi: kurangkan μ².
Apa saja yang dilatih dalam soal Peluang?
  • Mudah: hasil yang sama mungkin
  • Sedang: pencacahan dan komplemen
  • Sulit: distribusi binomial

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Lanjutkan dengan

Statistik praktik berbasis bukti

Kalkulator

Kalkulator distribusi binomialKalkulator distribusi PoissonKalkulator permutasi dan kombinasi (nPr dan nCr)Kalkulator nilai harapan dan varians

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika DasarMatematika TeknikSoal latihan AP StatisticsLatihan metode kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Peluang dengan jawaban
Berlatih Peluang secara gratisBerlatih Peluang sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.