Turunan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Turunan gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: aturan pangkat, aturan rantai dan perkalian, garis singgung dan nilai ekstrem.

Soal latihan gratisMudah
xyx = −2

Misalkan f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Tentukan kemiringan grafik di x = −2, yaitu f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Soal berikutnya →
Berlatih Turunan secara gratisBerlatih Turunan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahaturan pangkat
  2. Sedangaturan rantai dan perkalian
  3. Sulitgaris singgung dan nilai ekstrem

Cara menyelesaikan soal Turunan

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Kesalahan umum

  • Lupa turunan dalam pada aturan rantai.
  • Salah urutan dalam aturan hasil bagi.
  • Memperlakukan kelipatan konstanta sebagai hasil kali.

Rumus utama

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Pelajari Turunan dari nol

Sebelum ini: Limit

1Apa itu turunan

Turunan mengukur seberapa cepat sesuatu berubah. Jika posisi sebuah mobil berubah 50 km setiap jam, kelajuannya 50 km/h: laju perubahan posisi.

Pada grafik, turunan di suatu titik adalah kemiringan kurva di sana: seberapa curam kurva naik atau turun jika diperbesar sangat dekat.

Kemiringan itu adalah kemiringan garis singgung, garis lurus yang hanya menyentuh kurva di titik itu.

xy(1, 1)m = 2

Untuk y = x² garis singgung di x = 1 memiliki kemiringan 2. Kita menulis f′(1) = 2, dibaca “f aksen dari 1”.

  • Turunan positif: grafik naik.
  • Turunan negatif: grafik turun.
  • Turunan nol: grafik mendatar di sana, misalnya di puncak atau di lembah.
Tes mandiri Di titik tempat grafik f turun, turunannya…
  1. negatif
  2. nol
  3. positif
  4. tidak terdefinisi

Jawaban: negatif. Turunan adalah kemiringan. Grafik yang turun dari kiri ke kanan memiliki kemiringan negatif.

2Aturan dasar

Anda tidak perlu limit setiap kali. Beberapa aturan mencakup sebagian besar fungsi.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Ini adalah aturan pangkat: turunkan pangkatnya ke depan lalu kurangi pangkat dengan satu. Jadi (x³)′ = 3x² dan (x)′ = 1.

  • Konstanta sendiri memiliki turunan 0: nilainya tidak berubah.
  • Faktor konstanta tetap ada: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Pada penjumlahan, turunkan setiap suku secara terpisah.

Pelajari juga ini: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x dan (cos x)′ = −sin x.

Tes mandiri Apa turunan dari 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Jawaban: 12x² − 2. Aturan pangkat pada setiap suku: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, dan konstanta 7 menghasilkan 0.

3Aturan hasil kali dan aturan rantai

Dua aturan lagi menangani fungsi yang dibangun dari fungsi lain.

Aturan hasil kali, untuk dua fungsi yang dikalikan:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Aturan rantai, untuk fungsi di dalam fungsi lain: turunkan bagian luar, biarkan bagian dalam apa adanya, lalu kalikan dengan turunan bagian dalam.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Aturan hasil bagi mengikuti dari kedua aturan ini: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Tes mandiri Apa turunan dari (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Jawaban: 6(2x + 5)². Luar: 3(2x + 5)². Dalam: (2x + 5)′ = 2. Kalikan: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Melupakan angka 2 bagian dalam adalah kekeliruan klasik.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Lihat strukturnya: jumlah suku, hasil kali, hasil bagi, atau fungsi di dalam fungsi.
  2. Tulis ulang akar dan pecahan sebagai pangkat dulu: √x = x1/2 dan 1/x² = x−2.
  3. Terapkan aturan dari luar ke dalam, satu bagian pada satu waktu.
  4. Sederhanakan hasilnya.
  5. Jika nilai ditanyakan, masukkan angkanya hanya di akhir.

Untuk mencari puncak atau lembah grafik (ekstremum), selesaikan f′(x) = 0. Turunan kedua menunjukkan yang mana: f″ < 0 adalah maksimum, f″ > 0 adalah minimum.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Misalkan f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Tentukan kemiringan di x = 0, serta maksimum dan minimum lokalnya.

1

Turunkan suku demi suku

Gunakan aturan pangkat pada setiap suku. Konstanta 1 lenyap.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Kemiringan di x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Jadi garis singgung di x = 0 naik 9 satuan untuk setiap satu satuan ke kanan.

3

Samakan turunan dengan nol

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Yang mana maksimumnya?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 negatif, jadi x = 1 adalah maksimum. f″(3) = 6 positif, jadi x = 3 adalah minimum.

5

Cari nilainya

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Grafik membenarkannya: mendatar di kedua titik, puncak di (1, 5) dan lembah di (3, 1).

Jawaban

f′(0) = 9. Maksimum lokal di (1, 5), minimum lokal di (3, 1).

6Kesalahan umum

  • Lupa menurunkan bagian dalam pada aturan rantai.
  • Menulis (u · v)′ = u′ · v′. Aturan hasil kali memiliki dua suku.
  • Salah urutan pada aturan hasil bagi: pembilangnya u′v − uv′, dengan tanda minus.
  • Memasukkan angka sebelum menurunkan. Turunkan dulu, baru substitusikan.
  • Menganggap kelipatan konstanta seperti 5x³ sebagai hasil kali. Sebenarnya lebih sederhana: angka 5 tetap saja.
Tes mandiri Apa turunan dari √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Jawaban: 1/(2√x). √x = x1/2, jadi turunannya ½x−1/2 = 1/(2√x). Menulis akar sebagai pangkat dulu membuatnya mudah.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: sebuah polinomial. Gunakan aturan pangkat dan cari kemiringan pada x tertentu.
  • Sedang: aturan rantai atau hasil kali, misalnya (2x + 5)⁵ atau x²·e−x, dihitung di suatu titik.
  • Sulit: garis singgung dan ekstremum. Selesaikan f′(x) = 0 dan tentukan titik mana yang maksimum.

Pemeriksaan cepat untuk soal kemiringan: bayangkan grafiknya. Jika di sana grafik naik, jawaban Anda harus positif.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xyx = 1

Misalkan f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Tentukan kemiringan grafik di x = 1, yaitu f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Tentukan f′(1)

Tampilkan petunjuk
  1. Turunkan suku demi suku dengan aturan pangkat (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Konstanta hilang.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Sekarang substitusikan x = 1.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunkan suku demi suku

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Substitusikan

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Jawaban

f′(1) = −6
Contoh 2Sedang
xyx = 1

Misalkan f(x) = x3·e−x. Tentukan f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Tentukan f′(1)

Tampilkan petunjuk
  1. Aturan perkalian dengan u = x3 dan v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Substitusikan

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Jawaban

f′(1) = 0,7358
Contoh 3Sulit
xy

Misalkan f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Tentukan x

Tampilkan petunjuk
  1. Pada maksimum atau minimum lokal, turunannya nol.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Untuk fungsi kubik dengan suku x³ positif, maksimum muncul lebih dulu (x lebih kecil) dan minimum kemudian.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 6

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 27: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Jawaban

x = 6

Tanya jawab

Apa itu Turunan?

Turunan mengukur seberapa cepat sesuatu berubah. Jika posisi sebuah mobil berubah 50 km setiap jam, kelajuannya 50 km/h: laju perubahan posisi.

Pada grafik, turunan di suatu titik adalah kemiringan kurva di sana: seberapa curam kurva naik atau turun jika diperbesar sangat dekat.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Turunan langkah demi langkah?
  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Turunan?
  • Lupa turunan dalam pada aturan rantai.
  • Salah urutan dalam aturan hasil bagi.
  • Memperlakukan kelipatan konstanta sebagai hasil kali.
Apa saja yang dilatih dalam soal Turunan?
  • Mudah: aturan pangkat
  • Sedang: aturan rantai dan perkalian
  • Sulit: garis singgung dan nilai ekstrem

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Limit

Lanjutkan dengan

IntegralKalkulus multivariabelMetode numerikPersamaan diferensialOptimasiBarisan & deret

Kalkulator

Kalkulator turunan dengan langkah-langkah

Mata kuliah dengan topik ini

Kalkulus 1Matematika TeknikPersamaan DiferensialSoal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

LimitOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Turunan dengan jawaban
Berlatih Turunan secara gratisBerlatih Turunan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.