Integral: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Integral gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: polinomial, eksponen, logaritma, dan substitusi, luas antara kurva.

Soal latihan gratisMudah
xy−2−1

Hitung I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Soal berikutnya →
Berlatih Integral secara gratisBerlatih Integral sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahpolinomial
  2. Sedangeksponen, logaritma, dan substitusi
  3. Sulitluas antara kurva

Cara menyelesaikan soal Integral

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Kesalahan umum

  • Lupa membagi dengan pangkat yang baru.
  • Tidak mengubah batas integral setelah substitusi.
  • Lupa + C pada integral tak tentu.

Rumus utama

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Pelajari Integral dari nol

Sebelum ini: Turunan

1Apa itu integral

Integral menjumlahkan besaran yang berubah. Gambaran yang paling jelas adalah luas di bawah grafik.

Sebuah mobil melaju 20 m/s selama 5 s. Ia menempuh 20 · 5 = 100 m. Pada grafik kelajuan–waktu, itu adalah luas persegi panjang di bawah garis.

xy520100

Ketika kelajuan berubah, bentuk di bawah grafik melengkung, tetapi gagasannya sama: luas adalah jarak.

Kita menulis luas di bawah f antara x = a dan x = b sebagai:

∫ab f(x) dx

Bilangan a dan b adalah batas integral. dx menunjukkan bahwa x adalah variabelnya.

Tes mandiri Seorang pesepeda melaju konstan 10 m/s selama 4 s. Berapa luas di bawah grafik kelajuan–waktu?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Jawaban: 40 m. Luasnya persegi panjang: tinggi 10 m/s kali lebar 4 s memberi 40 m. Membagi 10 dengan 4 memberi 2,5, yang bukan luas.

2Antiturunan dan aturan pangkat

Integrasi adalah penurunan secara terbalik. Antiturunan F dari f adalah fungsi yang turunannya f.

Karena (x³)′ = 3x², antiturunan 3x² adalah x³. Konstanta apa pun boleh ditambahkan, jadi kita menulis ∫3x² dx = x³ + C.

Aturan pangkat untuk integral: naikkan pangkat satu, lalu bagi dengan pangkat yang baru.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Faktor konstanta tetap di depan: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Konstanta sendiri: ∫4 dx = 4x + C.
  • Pada penjumlahan, integralkan setiap suku secara terpisah.

Pelajari juga ini: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x dan ∫sin x dx = −cos x.

Anda selalu dapat memeriksa antiturunan: turunkan, dan Anda harus mendapatkan kembali fungsi aslinya.

Tes mandiri Berapa ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Jawaban: 2x³ + C. Naikkan pangkat menjadi 3 dan bagi dengan 3: 6x³/3 = 2x³. 12x adalah turunan, bukan integral, dan 6x³ lupa membagi dengan pangkat baru.

3Integral tentu dan luas

Integral tentu memiliki batas dan menghasilkan sebuah bilangan. Cari antiturunan F, lalu kurangkan nilainya pada kedua batas.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Konstanta C saling meniadakan dalam pengurangan, jadi dapat diabaikan di sini.

Contoh: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, karena ln 1 = 0.

Substitusi membantu bila suatu fungsi berada di dalam fungsi lain. Untuk e0,5x, misalkan u = 0,5x. Hasilnya adalah aturan di atas: bagi dengan 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

Luas di antara dua kurva adalah integral kurva atas dikurangi kurva bawah, di antara titik-titik tempat keduanya bertemu.

Untuk y = 2x dan y = x², kurva bertemu di x = 0 dan x = 2. Pada selang itu 2x berada di atas.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Tes mandiri Kurva y = x dan y = x² bertemu di x = 0 dan x = 1. Di antara keduanya, y = x berada di atas. Berapa luas daerah yang dibatasi?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Jawaban: 1/6. ∫(x − x²) dx dari 0 sampai 1 adalah 1/2 − 1/3 = 1/6. Mengurangkan atas dari bawah memberi −1/6, dan menjumlahkan kedua integral memberi 5/6.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tulis ulang fungsi sebagai jumlah suku sederhana. Tulis akar dan pecahan sebagai pangkat: √x = x1/2.
  2. Cari antiturunan setiap suku dengan aturan pangkat atau integral baku.
  3. Periksa dengan cepat dengan menurunkannya dalam kepala.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) dan F(a) secara terpisah.
  5. Kurangkan: F(b) − F(a). Perhatikan tanda minus bila a negatif.

Untuk luas di antara kurva, selesaikan dulu f(x) = g(x) untuk mencari batas, lalu integralkan atas dikurangi bawah.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Hitung I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Integralkan suku demi suku

3x² menjadi 3x³/3 = x³. 2x menjadi 2x²/2 = x². Konstanta 1 menjadi x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Periksa dengan menurunkan

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Ini adalah fungsi aslinya, jadi F benar.

3

Nilai pada batas atas

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Nilai pada batas bawah

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Kurangkan

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Integral adalah luas daerah yang diarsir di bawah kurva antara x = 0 dan x = 2.

Jawaban

I = 14

6Kesalahan umum

  • Lupa membagi dengan pangkat yang baru.
  • Menurunkan, bukan mengintegralkan: menurunkan pangkat, bukan menaikkannya.
  • Menulis ∫1/x dx sebagai x⁰/0. Aturan pangkat tidak berlaku untuk n = −1; gunakan ln|x|.
  • Melupakan tanda minus pada F(a) bila a negatif, misalnya (−1)³ = −1.
  • Melupakan + C pada integral tak tentu, atau tidak mengubah batas setelah substitusi.
Tes mandiri Berapa ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Jawaban: 4. F(x) = x⁴/4, jadi F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Lupa membagi dengan pangkat baru 4 memberi 16.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: integral tentu sebuah polinomial, kadang dengan batas negatif. Gunakan aturan pangkat dan F(b) − F(a).
  • Sedang: eksponensial, logaritma, dan substitusi, seperti ∫e0,5x dx atau ∫3/x dx di antara dua batas.
  • Sulit: luas yang dibatasi dua kurva, seperti y = x² dan y = 4x. Cari titik pertemuannya, lalu integralkan atas dikurangi bawah.

Pemeriksaan cepat: luas yang dibatasi dua kurva selalu positif. Jika Anda mendapat bilangan negatif, Anda mengurangkan dengan urutan yang salah.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xy3y = 0,5x

Daerah di bawah y = 0,5x dari x = 0 sampai x = 3 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Tentukan V

Tampilkan petunjuk
  1. Irisan di x berupa cakram berjari-jari y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integralkan

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Jawaban

V = 7,069

Periksa: kerucut berjari-jari 1,5 dan tinggi 3 memiliki (1/3)πr²h = 7,069.

Contoh 2Sedang
xy2y = x·cos x

Hitung I = ∫₀2 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀2 x·cos x dx

Tentukan I

Tampilkan petunjuk
  1. Ambil u = x dan dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiturunan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limit

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Jawaban

I = 0,4024
Contoh 3Sulit
xyy = 2x2​y = x

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 dan y = x.

y = 2x2y = x

Tentukan A

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu titik pertemuan kurva: samakan keduanya.
  2. Keduanya bertemu di x = 0 dan x = 0,5. Di antaranya garis berada di atas parabola.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Jawaban

A = 0,04167

Tanya jawab

Apa itu Integral?

Integral menjumlahkan besaran yang berubah. Gambaran yang paling jelas adalah luas di bawah grafik.

Sebuah mobil melaju 20 m/s selama 5 s. Ia menempuh 20 · 5 = 100 m. Pada grafik kelajuan–waktu, itu adalah luas persegi panjang di bawah garis.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Integral langkah demi langkah?
  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Integral?
  • Lupa membagi dengan pangkat yang baru.
  • Tidak mengubah batas integral setelah substitusi.
  • Lupa + C pada integral tak tentu.
Apa saja yang dilatih dalam soal Integral?
  • Mudah: polinomial
  • Sedang: eksponen, logaritma, dan substitusi
  • Sulit: luas antara kurva

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Turunan

Lanjutkan dengan

Konvolusi & sistem LTITransformasi LaplaceKalkulus multivariabelMetode numerikPersamaan diferensial

Kalkulator

Kalkulator integral (tentu dan tak tentu)

Mata kuliah dengan topik ini

Kalkulus 1Matematika TeknikPersamaan DiferensialMatematika Teknik 2Kalkulus 2Soal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Integral dengan jawaban
Berlatih Integral secara gratisBerlatih Integral sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.