Matematika Teknik 2: latihan soal dan soal ujian

Mata kuliah matematika kedua untuk insinyur: persamaan diferensial orde kedua, matriks dan vektor, teknik integrasi dengan volume benda putar, turunan parsial dan integral lipat dua, deret dan polinom Taylor, transformasi Laplace dan konvolusi. Inilah perangkat yang menjadi dasar mata kuliah rangkaian, getaran, dan kendali.

Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Paket kilat (PDF)Lembar rumus, langkah-langkah metode, dan soal latihan dengan pembahasan lengkap, siap dicetak.

Topik dalam mata kuliah ini

  1. Persamaan diferensialpertumbuhan dan peluruhan eksponensial · Hukum pendinginan Newton · linear orde satuhitungan
  2. Matriks & determinandeterminan 2×2 · 3×3 dan perkalian · nilai eigen dan sistemhitungan
  3. Vektor: hasil kali titik & silangbesar dan komponen · hasil kali titik · hasil kali silang dan momenhitungan
  4. Integralpolinomial · eksponen, logaritma, dan substitusi · luas antara kurvahitungan
  5. Kalkulus multivariabelturunan parsial dan integral lipat dua · gradien, bidang singgung, dan aturan rantai · titik kritis dan integral pada daerahhitungan
  6. Barisan & deretderet aritmetika dan geometri · kekonvergenan dan deret pangkat · polinom Taylor dan Maclaurinhitungan
  7. Transformasi Laplacepasangan tabel dan teorema nilai · transformasi balik dengan pecahan parsial · PD dan fungsi alihhitungan
  8. Konvolusi & sistem LTIkonvolusi diskret · konvolusi kontinu · respons impuls dan deret Fourierhitungan

Tips ujian untuk Matematika Teknik 2

  • Untuk PD linear, tulis persamaan karakteristiknya lebih dulu: akar-akarnya menentukan bentuk penyelesaian.
  • Pada integrasi parsial, pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan.
  • Gunakan tabel Laplace dan pecahan parsial, bukan mengintegralkan transformasinya secara manual.

Contoh dengan pembahasan

Persamaan diferensialMudah
rr² + br + c?

Untuk persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari akar r persamaan karakteristik yang paling dekat dengan nol. Akar itu menentukan seberapa lambat penyelesaian mereda.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Tentukan r

Tampilkan petunjuk
  1. Substitusikan y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Persamaan karakteristik

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Akar

r = −1, r = −3
paling dekat dengan nol: r = −1

Jawaban

r = −1

Penyelesaian umumnya adalah y = A·e−1t + B·e−3t.

Matriks & determinanSedang
A =−153−5−1−3−513

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Tentukan det A

Tampilkan petunjuk
  1. Ekspansikan sepanjang baris pertama dengan tanda + − +.
  2. Setiap suku adalah entri dikali determinan 2×2 yang tersisa saat baris dan kolomnya dicoret.
  3. minor: 0, −30, −10.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Ekspansi kofaktor

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Jawaban

det A = 120

Cara kerja latihan

  • “Latih mata kuliah ini” mencampur soal dari semua topiknya, seperti ujian sungguhan.
  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Ujian simulasi memiliki batas waktu dan tanpa petunjuk, dan di akhir Anda mendapat skor serta tinjauan lengkap.

Kalkulator untuk mata kuliah ini

Kalkulator transformasi Laplace balik (pecahan parsial)Kalkulator transformasi LaplaceKalkulator determinan dan invers matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenKalkulator waktu paruh dan peluruhan eksponensialPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)Kalkulator integral (tentu dan tak tentu)

Mata kuliah terkait

Matematika TeknikKalkulus 2Metode NumerikSoal latihan AP CalculusPersamaan DiferensialSinyal dan SistemKalkulus 1Statika
Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.