Kalkulator transformasi Laplace balik (pecahan parsial)
Masukkan nilai Anda. Jawaban dan penyelesaian lengkapnya diperbarui saat Anda mengetik.
Hasil
Cari transformasi Laplace balik fungsi rasional F(s) = N(s)/D(s). Masukkan koefisien pembilang dan penyebut, dimulai dari pangkat s tertinggi. Kalkulator mencoret faktor persekutuan, membagi pecahan tak wajar, mencari kutub, menghitung setiap koefisien pecahan parsial (untuk kutub berbeda, berulang, dan kompleks), dan menuliskan f(t) sebagai jumlah eksponensial, pangkat t, sinus, dan kosinus.
Penyelesaian langkah demi langkah
Tulis F(s) sebagai rasio polinomial
Kutub: akar-akar penyebut
Pecahan parsial
Pasangan transformasi yang dipakai
Transformasi Laplace balik
Cara mencari transformasi Laplace balik dengan pecahan parsial
- Pastikan F(s) wajar: jika derajat pembilang tidak lebih rendah daripada derajat penyebut, bagilah dahulu. Bagian polinomial menghasilkan impuls δ(t), δ′(t), dan seterusnya.
- Faktorkan penyebut untuk mencari kutub: kutub real a menghasilkan faktor (s − a), pasangan kompleks a ± bj menghasilkan (s − a)² + b².
- Tulis F(s) sebagai jumlah pecahan parsial dan cari koefisiennya. Untuk kutub tunggal, A = [(s − a)·F(s)] pada s = a (aturan cover-up); kutub berulang memerlukan turunan.
- Transformasikan setiap suku dengan tabel: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! dan (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Jumlahkan suku-sukunya untuk mendapatkan f(t) untuk t ≥ 0.
Tanya jawab
Bagaimana cara memasukkan F(s)?
Ketik koefisien setiap polinomial dari pangkat s tertinggi ke bawah, dipisahkan spasi, dengan nol untuk pangkat yang tidak ada. (s + 3)/(s² + 3s + 2) adalah pembilang 1 3 dan penyebut 1 3 2; 1/(s³ + 4s) adalah pembilang 1 dan penyebut 1 0 4 0. Pecahan seperti 1/2 dan desimal diperbolehkan.
Apa itu metode cover-up?
Untuk kutub tunggal di s = a, kalikan F(s) dengan (s − a), sederhanakan, lalu substitusikan s = a. Untuk F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) diperoleh 2/1 = 2 pada s = −1 dan 1/(−1) = −1 pada s = −2, sehingga f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Bagaimana kutub kompleks ditangani?
Sepasang kutub a ± bj menghasilkan suku (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), yang inversnya adalah e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Kalkulator mencari B dan C dari koefisien kompleks A pada a + bj: B = 2·Re A dan C = −2·Im A.
Bagaimana jika derajat pembilang terlalu tinggi?
Maka F(s) tak wajar. Pembagian polinomial menghasilkan F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Polinomial Q(s) ditransformasikan menjadi impuls: konstanta c menghasilkan c·δ(t), c·s menghasilkan c·δ′(t), dan seterusnya. Bagian wajar R(s)/D(s) diuraikan menjadi pecahan parsial seperti biasa.
Seberapa eksak hasilnya?
Faktor persekutuan dan faktor berulang ditemukan secara eksak, dengan pecahan. Akar dan koefisien kemudian dihitung secara numerik hingga sekitar 14 digit dan ditampilkan dengan 4 angka signifikan, sehingga kutub irasional, seperti kutub s² + s + 1, muncul sebagai desimal.
Mengapa f(t) hanya berlaku untuk t ≥ 0?
Transformasi Laplace satu sisi hanya memakai nilai f untuk t ≥ 0. Tepatnya, hasilnya adalah f(t)·u(t), dengan u fungsi tangga satuan, sehingga f(t) = 0 untuk t < 0.
Berlatihlah sendiri
Latih Transformasi Laplace
Kalkulator memberi jawabannya. Dalam ujian Anda perlu metodenya: latihlah dengan soal baru, petunjuk, dan pembahasan.