Transformasi Laplace: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Transformasi Laplace gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: pasangan tabel dan teorema nilai, transformasi balik dengan pecahan parsial, PD dan fungsi alih.
Soal latihan gratisMudah
Sebuah sinyal f(t) memiliki transformasi Laplace F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Gunakan teorema nilai akhir untuk mencari nilai f(∞) yang dicapai f(t) pada akhirnya.
Rangkaian, motor, dan tangki dijelaskan oleh persamaan diferensial: keluaran bergantung pada laju perubahannya sendiri. Menyelesaikannya secara langsung lambat.
Transformasi Laplace mengubah masalah seperti itu menjadi aljabar. Anda mengganti setiap fungsi waktu f(t) dengan fungsi F(s) dari variabel baru s.
Anda menyelesaikan masalah dengan aljabar biasa dalam s, lalu menerjemahkan hasilnya kembali ke waktu. Langkah terakhir itu adalah transformasi balik.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Anda jarang memakai integral ini sendiri. Dalam praktik Anda mencari pasangan transformasi dalam tabel, seperti kata-kata dalam kamus antara dua bahasa.
Gambar menunjukkan tiga sinyal umum: konstanta 1 (undak), eksponensial meluruh, dan sinus. Di bawah masing-masing adalah transformasinya.
Tes mandiri Berapa transformasi Laplace sinyal konstan f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Jawaban: 5/s. Faktor konstan tetap di depan, dan ℒ{1} = 1/s. Jadi ℒ{5} = 5/s. Menjawab 5 melupakan bahwa transformasi konstanta selalu membawa faktor 1/s.
2Tabel pasangan transformasi
Pelajari lima pasangan ini. Bersama dua aturan, pasangan ini mencakup hampir semua soal ujian.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Linearitas: konstanta tetap di depan, dan jumlah ditransformasikan suku demi suku. Jadi 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Pergeseran: mengganti s dengan s + a mengalikan fungsi waktu dengan e−at. Jadi (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Perhatikan pasangan sinus: pembilangnya harus ω itu sendiri. Untuk 12/(s² + 9) Anda memiliki ω = 3, jadi tulis 12 = 4·3. Hasilnya 4·sin 3t.
Pada sin ωt dan cos ωt sudut ωt dalam radian. Atur kalkulator ke radian sebelum Anda menghitung.
Contoh soal
Cari f(t) untuk F(s) = 6/(s + 3) + 2/s, dan hitung f(0,5).
1
Cocokkan setiap suku dengan sebuah pasangan
6/(s + 3) berbentuk 1/(s + a) dengan a = 3, dikali 6. Suku 2/s adalah konstanta 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Tulis f(t)
Jumlahkan kedua bagian (linearitas):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Hitung pada t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Jawaban
f(t) = 6·e−3t + 2, sehingga f(0,5) ≈ 3,34.
Tes mandiri Berapa transformasi balik 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Jawaban: 2·sin 4t. ω² = 16, sehingga ω = 4. Pasangan memerlukan 4 di pembilang: 8 = 2·4, yang memberikan 2·sin 4t. 8·sin 4t lupa membagi dengan ω. Kosinus berpasangan dengan s di pembilang.
3Nilai awal dan akhir tanpa membalik
Kadang Anda hanya perlu tahu di mana f(t) mulai atau berakhir. Dua teorema memberikannya langsung dari F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Nilai awal (s → ∞): untuk s yang sangat besar hanya pangkat tertinggi s pada pembilang dan penyebut yang berarti.
Nilai akhir (s → 0): hapus faktor s, lalu set s = 0 pada setiap faktor yang tersisa, termasuk nol.
Teorema nilai akhir hanya berlaku jika f(t) benar-benar mantap: semua kutub s·F(s) harus memiliki bagian real negatif.
Nilai akhir: untuk F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) diperoleh s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Pada s = 0 ini 12/6 = 2, sehingga f(∞) = 2.
Nilai awal: untuk F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) diperoleh s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Untuk s besar ini berperilaku seperti 3s²/s², sehingga f(0⁺) = 3.
Untuk kemiringan awal f′(0⁺), pakai transformasi turunan, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Lalu terapkan teorema nilai awal padanya:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Untuk F(s) yang sama: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Kalikan dengan s dan biarkan s → ∞. Pangkat tertinggi memberikan −5s²/s², sehingga f′(0⁺) = −5.
Tes mandiri F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). Ke nilai berapa f(t) mantap?
0,5
0
1
20
Jawaban: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), yaitu 20/20 = 1 pada s = 0. Menghilangkan faktor nol (s + 2) memberikan 0,5. Nilai 0 adalah limit s → ∞, yaitu nilai awal.
4Pecahan parsial, langkah demi langkah
Sebagian besar F(s) tidak ada dalam tabel apa adanya. Anda memecahnya menjadi pecahan sederhana yang ada. Ini disebut pecahan parsial.
Setiap akar penyebut adalah sebuah kutub. Kutub sederhana di s = −a memberikan satu suku A/(s + a), yang menjadi A·e−at dalam waktu.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Aturan tutup (cover-up) mencari setiap koefisien. Untuk mencari A, tutup faktor (s + a) dalam F(s) dan masukkan s = −a pada semua yang tersisa.
Contoh: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Maka A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 dan B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Jadi f(t) = 2e−t − e−4t.
Posisi kutub memberi tahu bentuknya. Kutub real di −3 memberikan peluruhan murni e−3t. Pasangan kompleks −1 ± j2 memberikan osilasi meluruh, e−t kali sin 2t atau cos 2t.
Kutub berulang (s + a)²: tulis A/(s + a) + B/(s + a)². Suku kedua memberikan B·t·e−at. Jadi (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Jawaban: 2. Tutup (s + 1) dan masukkan s = −1 pada sisanya: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Nilai −1 adalah B. 4 lupa membagi dengan faktor sisanya, dan −2 membalik tanda faktor sisa: 4/(−2) alih-alih 4/2.
5Contoh soal lengkap
Ini adalah soal sedang yang khas. Coba setiap langkah sendiri sebelum Anda membukanya.
Contoh soal
Cari f(t) untuk F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) dengan pecahan parsial, dan hitung f(0,5).
1
Susun pecahannya
Penyebut sudah terfaktor. Kutubnya s = 0, s = −2, dan s = −3, semuanya sederhana.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Aturan tutup untuk A
Tutup faktor s dan masukkan s = 0 pada sisanya:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Aturan tutup untuk B dan C
Tutup (s + 2) dan masukkan s = −2. Lalu tutup (s + 3) dan masukkan s = −3. Pertahankan setiap tanda.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Kembali ke waktu
Setiap suku adalah pasangan tabel: 2/s ↔ 2, dan B/(s + a) ↔ B·e−at.
Mencampuradukkan teorema: s → ∞ memberikan nilai awal f(0⁺), dan s → 0 memberikan nilai akhir f(∞).
Lupa faktor s pada s·F(s), atau menghilangkan faktor nol seperti (s + 2) ketika Anda menetapkan s = 0.
Kesalahan tanda pada aturan tutup: pada s = −3 faktor (s + 2) sama dengan −1, bukan 5.
Memakai pasangan sinus tanpa membagi dengan ω: ω/(s² + ω²) memerlukan ω di pembilang.
Menghitung sin ωt atau cos ωt dengan kalkulator dalam derajat. Sudut ωt dalam radian.
Memakai teorema nilai akhir ketika f(t) tidak pernah mantap, misalnya F(s) = 1/(s² + 4), yang merupakan sinus murni.
Tes mandiri F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Dengan aturan tutup, berapa koefisien B dari e−3t?
3
6
−2
−3
Jawaban: −3. Tutup (s + 3) dan masukkan s = −3 pada sisanya: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Positif 3 adalah kesalahan tanda (itu koefisien A dari e−t). −2 membagi dengan nilai kutub, bukan faktor sisa.
7Seperti apa soal ujiannya
Mudah: pasangan tabel dan teorema nilai. Anda membalik konstanta, eksponensial, t·e−at, sinus, atau kosinus lalu menghitungnya, atau mencari f(0⁺), f(∞), atau kemiringan awal f′(0⁺).
Sedang: transformasi balik dengan pecahan parsial. Anda mencari satu koefisien A, membalik tiga kutub sederhana s(s + a)(s + b), kutub berulang, atau kutub kompleks dengan melengkapi kuadrat.
Sulit: persamaan diferensial dan fungsi alih, misalnya y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) dengan nilai awal yang diberikan. Anda mencari y pada waktu tertentu.
Untuk tingkat sulit, transformasikan setiap turunan bersama kondisi awalnya:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Lalu selesaikan persamaan aljabar untuk Y(s), dan balikkan dengan pecahan parsial seperti pada contoh.
Sebuah sinyal f(t) memiliki transformasi Laplace F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Gunakan teorema nilai akhir untuk mencari nilai f(∞) yang dicapai f(t) pada akhirnya.
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Tentukan f(∞)
Tampilkan petunjuk
Teorema nilai akhir: f(∞) = lim s·F(s) untuk s → 0.
Periksa dulu bahwa semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri, sehingga f(t) benar-benar menuju nilai tetap.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Periksa bahwa teorema berlaku
Teorema ini hanya berlaku jika f(t) menuju nilai tetap; kutub pada sumbu imajiner atau di setengah bidang kanan akan memberi jawaban yang salah.
Kutub s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, semuanya di setengah bidang kiri.
Aturan tutup (cover-up): A = [(s + 6)·F(s)] pada s = −6.
Pada s = −6: pembilang 16, faktor lainnya 2.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Aturan tutup (cover-up)
Kalikan dengan (s + 6) dan masukkan s = −6: suku B lenyap.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Jawaban
A = 8
(B = −7, jadi f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Contoh 3Sulit
Sebuah sistem memenuhi y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0. Pada t = 0 diberikan masukan langkah u(t) = 5. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari y(0,6).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaannya
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Pecahan parsial
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Hasil
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Jawaban
y(0,6) = 10,31
Periksa: y(0) = A + B + C = 5.
Tanya jawab
Apa itu Transformasi Laplace?
Rangkaian, motor, dan tangki dijelaskan oleh persamaan diferensial: keluaran bergantung pada laju perubahannya sendiri. Menyelesaikannya secara langsung lambat.
Anda menyelesaikan masalah dengan aljabar biasa dalam s, lalu menerjemahkan hasilnya kembali ke waktu. Langkah terakhir itu adalah transformasi balik.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Transformasi Laplace langkah demi langkah?
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Transformasi Laplace?
Pada s = 0 faktor s² + 2s + 23 sama dengan suku konstantanya 23.
Ambil limit s → 0, bukan s = 1.
Itu B, koefisien e−8t. A milik kutub s = −6.
Apa saja yang dilatih dalam soal Transformasi Laplace?
Mudah: pasangan tabel dan teorema nilai
Sedang: transformasi balik dengan pecahan parsial
Sulit: PD dan fungsi alih
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.