Sebuah sinyal f(t) memiliki transformasi Laplace F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Gunakan teorema nilai akhir untuk mencari nilai f(∞) yang dicapai f(t) pada akhirnya.
Tentukan f(∞)
Tampilkan petunjuk
- Teorema nilai akhir: f(∞) = lim s·F(s) untuk s → 0.
- Periksa dulu bahwa semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri, sehingga f(t) benar-benar menuju nilai tetap.
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Periksa bahwa teorema berlaku
Teorema ini hanya berlaku jika f(t) menuju nilai tetap; kutub pada sumbu imajiner atau di setengah bidang kanan akan memberi jawaban yang salah.