Respons langkah: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Respons langkah gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: sistem orde satu, parameter orde dua, sistem fisik dan perancangan.
Soal latihan gratisMudah
Kapasitor C = 47 µF yang belum bermuatan diisi dari sumber langkah 5 V melalui resistor R = 4,7 kΩ. Tentukan tegangan kapasitor vC pada t = 220,9 ms.
Undak (step) adalah masukan yang melompat dari 0 ke nilai konstan pada t = 0 lalu tetap di sana. Bayangkan menyalakan pemanas, atau menekan pedal gas dan menahannya.
Tanggapan undak adalah bagaimana keluaran mengikutinya. Keluaran tidak dapat melompat seketika: ia bergerak menuju nilai akhir y(∞) yang baru dan mantap di sana.
Kurva a naik mulus dan tidak pernah melampaui. Itu sistem orde pertama, seperti rangkaian RC atau tangki yang dipanaskan.
Kurva b melampaui, berayun beberapa kali lalu mantap. Itu sistem orde kedua redaman kurang, seperti suspensi mobil atau massa pada pegas.
Nilai akhir berasal dari penguatan DC G(0): undak berukuran U mantap pada y(∞) = G(0)·U. Ini adalah teorema nilai akhir dari transformasi Laplace.
Tes mandiri Sistem G(s) = 3/(2s + 1) menerima undak berukuran 4. Berapa nilai akhir y(∞)?
12
3
4
6
Jawaban: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, sehingga y(∞) = 3·4 = 12. Nilai 4 melupakan penguatan, 3 melupakan ukuran undak, dan 6 membagi dengan 2 pada 2s, yang hilang pada s = 0.
2Sistem orde pertama
Sistem orde pertama memiliki bentuk baku di bawah. K adalah penguatan statis dan τ konstanta waktu dalam detik.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Jika G(s) ditulis sebagai b/(s + a), bagi pembilang dan penyebut dengan a. Maka K = b/a dan τ = 1/a.
Setelah 1τ keluaran telah menyelesaikan 63% perubahannya, setelah 3τ 95%, setelah 5τ lebih dari 99%.
Waktu untuk mencapai fraksi x dari nilai akhir: t = −τ·ln(1 − x). Untuk 90%, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Waktu naik 10–90% adalah tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Untuk rangkaian RC τ = R·C. Perhatikan bahwa kΩ kali µF menghasilkan milidetik.
Jika Anda mengukur tanggapannya, Anda dapat mencari τ secara terbalik. Jika keluaran mencapai fraksi x pada waktu t, maka τ = −t/ln(1 − x).
Contoh soal
G(s) = 10/(s + 5) menerima undak berukuran 2 pada t = 0. Cari nilai akhir dan waktu untuk mencapai 90% darinya.
1
Bentuk baku
Bagi pembilang dan penyebut dengan 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Nilai akhir
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Waktu ke 90%
Selesaikan 1 − e−t/τ = 0,9, sehingga e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Jawaban
y(∞) = 4 dan keluaran mencapai 90% setelah t ≈ 0,461 s.
Tes mandiri Berapa konstanta waktu G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Jawaban: 0,2 s. Ditulis sebagai 2/(0,2s + 1), konstanta waktunya τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s mencampuradukkan τ dengan a, dan 2 adalah penguatan K, bukan waktu.
3Sistem orde kedua
Sistem orde kedua memiliki penyebut kuadrat. Bandingkan dengan bentuk baku:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Suku konstanta adalah ωn², sehingga frekuensi alami adalah ωn = √(suku konstanta), dalam rad/s.
Koefisien s adalah 2ζωn, sehingga rasio redaman adalah ζ = (koefisien s)/(2ωn).
Untuk 0 < ζ < 1 tanggapan melampaui dan berosilasi. ζ yang lebih kecil berarti lonjakan lebih besar.
Untuk undak satuan nilai akhirnya G(0) = K/ωn². Lima angka menjelaskan bentuk tanggapan:
ωd adalah frekuensi teredam: seberapa cepat tanggapan berosilasi.
tp adalah waktu puncak, ketika keluaran tertinggi. %OS adalah persen lonjakan (overshoot) di atas nilai akhir.
ts adalah waktu penetapan (settling time), setelah itu keluaran tetap dalam 2% dari nilai akhir.
Kedua kutub adalah s = σ ± jωd, dengan bagian real σ = −ζωn. Jaraknya dari titik asal adalah ωn, dan cos θ = ζ.
Tes mandiri Suatu sistem memiliki penyebut s² + 4s + 25. Berapa rasio redaman ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Jawaban: 0,4. ωn = √25 = 5, dan 2ζωn = 4 memberikan ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 melupakan angka 2, 0,08 membagi dengan ωn², bukan ωn, dan 2 adalah ζωn.
4Metode ini selangkah demi selangkah
Tentukan ordenya: penyebut berderajat 1 adalah orde pertama, derajat 2 adalah orde kedua.
Orde pertama: tulis G(s) sebagai K/(τs + 1) dan baca K dan τ.
Orde kedua: bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωns + ωn². Cari ωn terlebih dahulu, lalu ζ.
Cari nilai akhir y(∞) = G(0)·U.
Terapkan rumus untuk yang ditanyakan: y(t), suatu waktu, tp, %OS, ts, atau σ.
Periksa satuan: waktu dalam detik, ω dalam rad/s, dan sudut pada rumus e… dan π dalam radian.
5Contoh soal lengkap
Ini adalah soal sedang yang khas. Coba setiap langkah sebelum Anda membukanya.
Contoh soal
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) menerima undak satuan. Cari ζ, ωn, persen lonjakan, dan waktu puncak.
1
Frekuensi alami
Suku konstantanya adalah ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Rasio redaman
Koefisien s adalah 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ berada di antara 0 dan 1, jadi tanggapan melampaui.
3
Persen lonjakan
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Waktu puncak
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Periksa jawabannya
Nilai akhirnya G(0) = 16/16 = 1, sehingga puncaknya sekitar 1,163. Gambar pada bagian sebelumnya memakai sistem yang sama ini.
Waktu penetapan 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s lebih lambat daripada puncak, seperti seharusnya.
Jawaban
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3%, dan tp ≈ 0,907 s.
6Kesalahan umum
Memperlakukan kenaikan sebagai linear. Eksponensial mencapai 90% setelah 2,3τ, bukan setelah 0,9τ: pakai t = −τ·ln(1 − x).
Memakai ln(x), bukan ln(1 − x). Logaritma mengambil bagian yang masih kurang.
Membaca τ = a dari b/(s + a). Konstanta waktu adalah 1/a.
Memakai ωn² sebagai ωn. Ambil akar kuadrat dari suku konstanta.
Lupa angka 2 pada 2ζωn, atau memakai ωn, bukan ωd, dalam tp = π/ωd.
Memberikan lonjakan sebagai pecahan (0,163) ketika soal menanyakan persen (16,3%).
Tes mandiri G(s) = 2/(s + 4) menerima undak. Berapa lama keluaran mencapai 90% dari nilai akhirnya?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Jawaban: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s dan t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s memperlakukan kenaikan sebagai linear (0,9τ). 0,026 s memakai ln(0,9), bukan ln(0,1). 9,21 s memakai a = 4, bukan τ.
7Seperti apa soal ujiannya
Mudah: sistem orde pertama. Anda mencari y(∞), keluaran pada waktu tertentu, waktu untuk mencapai persentase tertentu, τ dari titik yang terukur, atau waktu pengisian rangkaian RC.
Sedang: parameter orde kedua. Dari G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) Anda mencari ζ, ωn, %OS, tp, ts, atau bagian real σ kutub.
Sulit: sistem fisik dan perancangan. Sistem massa–pegas–peredam atau rangkaian RLC, atau ζ dan ωn yang dihitung mundur dari lonjakan dan waktu puncak yang terukur.
Untuk massa m, peredam c, dan pegas k, persamaan m·x″ + c·x′ + k·x = F memberikan:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Untuk menghitung mundur dari lonjakan, selesaikan rumus %OS untuk ζ:
Sistem orde satu G(s) = 2/(2s + 1) menerima masukan langkah berukuran 2 pada t = 0, mulai dari keadaan diam. Tentukan nilai akhir y(∞) dari keluaran.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Tentukan y(∞)
Tampilkan petunjuk
Teorema nilai akhir: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) adalah penguatan DC.
G(0) = 2.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Penguatan DC
G(0) = 2
Nilai akhir
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Jawaban
y(∞) = 4
Contoh 2Sedang
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 213/(s² + 8s + 71) dan menerima masukan langkah satuan. Tentukan persen overshoot %OS dari respons langkah.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Tentukan %OS(%)
Tampilkan petunjuk
Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk baku
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Hasil
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Jawaban
%OS = 18,37 %
Contoh 3Sulit
Sebuah massa m = 2,5 kg tergantung pada pegas k = 800 N/m dengan peredam kental c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Dalam keadaan seimbang diam, gaya konstan F = 10 N tiba-tiba diberikan. Tentukan waktu tp saat simpangan terbesar.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Tentukan tp(s)
Tampilkan petunjuk
Bagi dengan m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, jadi ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Simpangan akhirnya F/k = 12,5 mm.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi alami dan rasio redaman
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Hasil
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Jawaban
tp = 0,1765 s
Tanya jawab
Apa itu Respons langkah?
Kurva a naik mulus dan tidak pernah melampaui. Itu sistem orde pertama, seperti rangkaian RC atau tangki yang dipanaskan.
Kurva b melampaui, berayun beberapa kali lalu mantap. Itu sistem orde kedua redaman kurang, seperti suspensi mobil atau massa pada pegas.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Respons langkah langkah demi langkah?
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Respons langkah?
Keluaran menetap di K·U, bukan di U: penguatan DC adalah G(0) = 2.
Nyatakan overshoot dalam persen: kalikan dengan 100.
Eksponennya −ζπ/√(1 − ζ²).
Apa saja yang dilatih dalam soal Respons langkah?
Mudah: sistem orde satu
Sedang: parameter orde dua
Sulit: sistem fisik dan perancangan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.