Logika digital: gerbang, peta-K & flip-flop: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

1Satu, nol, dan gerbang

Rangkaian digital bekerja dengan dua nilai: 0 (tegangan rendah, salah) dan 1 (tegangan tinggi, benar). Sebuah gerbang logika menerima satu atau lebih masukan dan memberikan satu keluaran.

• AND memberi 1 hanya jika semua masukan bernilai 1. Ditulis A·B atau AB.
• OR memberi 1 jika setidaknya satu masukan bernilai 1. Ditulis A + B.
• NOT membalik: 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0. Ditulis A′ (atau dengan garis di atas A).
• NAND dan NOR adalah AND dan OR yang diikuti NOT; lingkaran kecil pada simbol berarti “dibalik”.
• XOR (A ⊕ B) memberi 1 jika masukannya berbeda.

Tabel kebenaran mendaftar keluaran untuk setiap kombinasi masukan: 2ⁿ baris untuk n masukan. Baris ABC = 101 adalah baris nomor 5, disebut minterm m₅.

2Aljabar Boolean

Ekspresi logika mengikuti aturan seperti aljabar biasa, ditambah beberapa aturan khusus. Yang paling berguna:

Aturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X adalah inti penyederhanaan: dua suku yang berbeda pada satu variabel bergabung, dan variabel itu hilang.

Jumlah dari hasil kali (SOP) adalah OR dari suku-suku AND, seperti F = AB′ + C. Hasil kali dari jumlah (POS) adalah AND dari suku-suku OR, seperti F = (A + B)(B′ + C). Setiap suku hasil kali tersusun dari literal: variabel, dengan atau tanpa tanda aksen.

3Peta Karnaugh

Peta Karnaugh adalah tabel kebenaran yang digambar sebagai kisi, dengan sel-sel bertetangga berbeda tepat pada satu variabel. Itulah sebabnya baris dan kolom berurutan 00, 01, 11, 10 (kode Gray), bukan menurut urutan biner.

1. Tulis angka 1 di sel setiap minterm; angka kecil di setiap sel adalah nomor mintermnya.
2. Gambar persegi panjang berisi 1, 2, 4, 8, atau 16 sel di sekeliling angka 1. Kelompok boleh melingkar melewati tepi: kolom kiri dan kanan bertetangga, begitu pula baris atas dan bawah.
3. Buat setiap kelompok sebesar mungkin, dan gunakan kelompok sesedikit mungkin hingga setiap angka 1 tercakup.
4. Baca setiap kelompok sebagai suku hasil kali: pertahankan hanya variabel yang tidak berubah di dalamnya. Kelompok 2ᵏ sel kehilangan k variabel.

Pada peta di atas keempat angka 1 membentuk satu kelompok. Di dalamnya A berubah dan C berubah, hanya B = 1 yang tetap, jadi F = B.

Sel bertanda X adalah don’t-care: kombinasi masukan yang tidak pernah terjadi. Pakai X sebagai 1 jika itu membuat kelompok lebih besar, dan abaikan jika tidak. Mengelompokkan angka 0 sebagai gantinya menghasilkan bentuk POS minimal.

4Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

5Flip-flop dan pencacah

Gerbang bereaksi terhadap masukannya seketika. Flip-flop menyimpan satu bit dan hanya berubah pada tepi aktif clock (biasanya tepi naik).

• Flip-flop D: Q menjadi D pada setiap tepi clock (Q⁺ = D).
• Flip-flop T: berbalik jika T = 1, bertahan jika T = 0.
• Flip-flop JK: JK = 00 bertahan, 01 reset ke 0, 10 set ke 1, 11 berbalik.

Flip-flop yang berbalik berubah pada setiap tepi naik, sehingga keluarannya berfrekuensi setengah frekuensi clock. Merangkai n buah menghasilkan pencacah biner n bit dengan 2ⁿ keadaan. Pencacah mod-N berurutan 0, 1, …, N − 1 lalu kembali ke 0; ia memerlukan n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N, dan keluaran terakhirnya berjalan pada f_clk/N.

Pada pencacah ripple setiap tahap di-clock oleh tahap sebelumnya, sehingga tundaannya bertambah: periode clock minimal n·t_pd. Pencacah register geser memakai lebih sedikit keadaan: pencacah cincin dari n flip-flop punya n keadaan, pencacah Johnson 2n.

6Kesalahan umum

• Menulis kolom peta K sebagai 00, 01, 10, 11. Urutan yang benar adalah kode Gray: 00, 01, 11, 10.
• Lupa bahwa kelompok bisa melingkar melewati tepi peta.
• Membuat kelompok 3 atau 6 sel. Kelompok berisi 1, 2, 4, 8, atau 16 sel.
• Mencakup don’t-care yang tidak membantu: X tidak harus selalu dicakup.
• Membaca kelompok dengan mempertahankan variabel yang berubah. Pertahankan hanya yang tetap konstan.
• Lupa bahwa pencacah berputar kembali: pencacah n bit menghitung modulo 2ⁿ.

7Seperti apa soal ujiannya

• Mudah: menghitung keluaran rangkaian gerbang untuk masukan tertentu, menghitung angka 1 pada tabel kebenarannya, menempatkan minterm pada peta Karnaugh, jumlah gerbang NAND untuk suatu fungsi, atau tundaan propagasi terburuk.
• Sedang: menyederhanakan ekspresi, mencari bentuk SOP atau POS minimal dengan peta Karnaugh, fungsi yang dibangun dengan multiplekser, atau angka 1 terisolasi pada peta.
• Sulit: peta dengan don’t-care, implikan prima esensial, diagram pewaktuan flip-flop, pencacah setelah banyak pulsa, jumlah flip-flop atau frekuensi keluaran, dan register geser.

Periksa ekspresi yang sudah disederhanakan dengan menguji satu atau dua baris tabel kebenaran: bentuk asli dan bentuk sederhananya harus memberi keluaran yang sama.