Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: Tabel Routh dan jumlah kutub, rentang K untuk kestabilan, tempat kedudukan akar.

Soal latihan gratisMudah
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Polinomial karakteristik suatu sistem umpan balik adalah Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Susun tabel Routh dan cari berapa banyak akar N dari Q(s) yang terletak di setengah bidang kanan.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Jawaban pasti: bilangan bulat, tanpa pembulatan.

Soal berikutnya →
Berlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar secara gratisBerlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. MudahTabel Routh dan jumlah kutub
  2. Sedangrentang K untuk kestabilan
  3. Sulittempat kedudukan akar

Cara menyelesaikan soal Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar

  1. Tulis polinomial karakteristik loop tertutup: penyebut dari 1 + K·G(s) = 0, setelah dijabarkan.
  2. Masukkan koefisien secara bergantian ke dua baris pertama tabel Routh lalu susun baris-baris sisanya.
  3. Hitung perubahan tanda pada kolom pertama: masing-masing adalah satu kutub di setengah bidang kanan. Dengan K dalam tabel, syaratkan bahwa setiap entri kolom pertama tetap positif.
  4. Untuk tempat kedudukan akar, tandai kutub dan nol, segmen sumbu real, asimtot dari titik berat, dan titik pisah di tempat dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk penguatan di suatu titik.

Kesalahan umum

  • Menyimpulkan bahwa sistem stabil hanya karena semua koefisien positif; untuk orde tiga atau lebih tinggi itu tidak cukup.
  • Melupakan suku konstanta plant saat K ditambahkan: dengan tiga kutub di luar titik asal, entri s⁰ adalah abc + K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pencar padahal ada kutub ketiga atau nol di dekatnya.
  • Menggunakan letak kutub tanpa tandanya dalam rumus titik berat.

Rumus utama

Kestabilan
semua akar polinomial karakteristik berada di setengah bidang kiri
tabel Routh, entri s¹ dari polinomial kubik
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Akar di setengah bidang kanan
jumlah perubahan tanda pada kolom pertama
Polinomial kubik s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabil bila semua a > 0 dan a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Persamaan karakteristik
1 + K·G(s) = 0
Asimtot
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Titik pencar dan titik temu
dK/ds = 0
Syarat besar
K = 1/|G(s)|
Sudut keberangkatan
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Pelajari Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar dari nol

Sebelum ini: Transformasi Laplace, Diagram blok

1Apa arti kestabilan

Sistem stabil bila setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran terbatas. Setelah gangguan, sistem yang stabil menetap; sistem yang tidak stabil lepas kendali atau berosilasi dengan amplitudo yang membesar.

Perilakunya ditentukan oleh kutub loop tertutup: akar-akar polinomial karakteristiknya. Kutub di s = p menambahkan suku ept pada respons.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Kutub dengan bagian real negatif (setengah bidang kiri) menghasilkan suku yang meluruh.
  • Kutub dengan bagian real positif (setengah bidang kanan) menghasilkan suku yang tumbuh tanpa batas.
  • Jadi sistem stabil hanya bila semua kutub berada di setengah bidang kiri.
Tes mandiri Suatu loop tertutup memiliki kutub di −3, −1 + j2, −1 − j2, dan +0,5. Apakah stabil?
  1. Tidak, karena kutub kompleks selalu membuat sistem tidak stabil
  2. Tidak, kutub di +0,5 membuatnya tidak stabil
  3. Ya, karena kutub kompleksnya memiliki bagian real negatif
  4. Ya, karena tiga dari empat kutub berada di setengah bidang kiri

Jawaban: Tidak, kutub di +0,5 membuatnya tidak stabil. Satu kutub di setengah bidang kanan sudah cukup: sukunya e0,5t tumbuh. Kutub kompleks di setengah bidang kiri tidak masalah; keduanya memberikan osilasi yang meluruh.

2Tabel Routh

Untuk orde tiga atau lebih tinggi, sulit mencari akar dengan tangan. Kriteria Routh–Hurwitz memberi tahu berapa banyak akar yang berada di setengah bidang kanan tanpa menyelesaikannya.

Tulis koefisien secara bergantian ke dua baris pertama. Untuk s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Setiap baris baru dibangun dari dua baris di atasnya. Untuk polinomial kubik, entri s¹ adalah:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Jumlah perubahan tanda pada kolom pertama sama dengan jumlah akar di setengah bidang kanan.

Contoh: s³ + 2s² + 3s + 10. Kolom pertamanya 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Tandanya +, +, −, +: dua perubahan, jadi dua kutub berada di setengah bidang kanan.

Tes mandiri Untuk s³ + 4s² + 5s + 2, berapa entri pertama baris s¹?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Jawaban: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Lupa membagi dengan 4 memberikan 18; menukar hasil kali memberikan −4,5.

3Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tulis persamaan karakteristik loop tertutup 1 + K·G(s) = 0 dan jabarkan menjadi polinomial.
  2. Isi dua baris pertama tabel Routh dengan koefisien-koefisiennya.
  3. Susun baris-baris sisanya; pertahankan K sebagai simbol bila muncul.
  4. Hitung perubahan tanda pada kolom pertama, atau syaratkan setiap entri kolom pertama positif untuk mencari rentang K yang diizinkan.
  5. Pada penguatan batas, baris s¹ bernilai nol. Baris s² kemudian memberikan persamaan bantu a·s² + b = 0, yang akar-akarnya ±jω menunjukkan frekuensi osilasi.

Uji cepat untuk polinomial kubik s³ + a₂s² + a₁s + a₀: stabil tepat bila semua koefisien positif dan a₂·a₁ > a₀.

4Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Loop di bawah memiliki L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Untuk penguatan K berapa loop tertutup stabil, dan pada frekuensi berapa ia berosilasi di batasnya?

1

Perhatikan loopnya

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Persamaan karakteristiknya adalah 1 + L(s) = 0, jadi s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Jabarkan

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Susun tabel Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Entri s¹ adalah (6·8 − 1·K)/6.

4

Jaga kolom pertama tetap positif

Dari baris s⁰: K > 0. Dari baris s¹: 48 − K > 0, jadi K < 48.

5

Frekuensi pada batas

Pada K = 48 baris s¹ bernilai nol. Baris s² memberikan 6s² + 48 = 0, jadi s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Periksa jawabannya

Pada K = 48 polinomialnya adalah s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Akar-akarnya adalah −6 dan ±j2,83, seperti yang diharapkan.

Jawaban

Loop stabil untuk 0 < K < 48; pada K = 48 ia berosilasi pada ω = 2,83 rad/s.

5Tempat kedudukan akar

Tempat kedudukan akar menunjukkan bagaimana kutub loop tertutup bergerak saat K berubah dari 0 ke ∞. Ia dimulai dari kutub loop terbuka (×) dan berakhir di nol loop terbuka (○) atau di tak hingga.

  • Suatu titik pada sumbu real berada pada tempat kedudukan bila jumlah kutub dan nol real di sebelah kanannya ganjil.
  • n − m cabang yang menuju tak hingga mengikuti asimtot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Asimtot berawal dari titik berat σa = (Σ kutub − Σ nol)/(n − m).
  • Cabang meninggalkan atau bergabung dengan sumbu real di tempat dK/ds = 0, dengan K = −1/G(s) pada sumbu.
  • Penguatan di titik s mana pun pada tempat kedudukan adalah K = 1/|G(s)|, hasil kali jarak ke kutub-kutub dibagi hasil kali jarak ke nol-nol.

Untuk L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) titik beratnya adalah (0 − 2 − 4)/3 = −2, dan asimtot berangkat pada 60°, 180°, dan 300°.

ReIm0−2−460°

Titik pencar antara 0 dan −2 diperoleh dari dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, jadi s = −0,845.

Tes mandiri Untuk L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), di mana kedua cabang meninggalkan sumbu real?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Jawaban: s = −3. Dengan dua kutub real dan tanpa nol, K = −(s + 1)(s + 5) terbesar di tengah-tengah keduanya: dK/ds = −(2s + 6) = 0 memberikan s = −3.

6Kesalahan umum

  • Menyebut sistem stabil karena semua koefisiennya positif. Untuk orde tiga atau lebih tinggi Anda juga memerlukan uji Routh.
  • Melupakan suku konstanta plant: untuk K/((s + a)(s + b)(s + c)) koefisien s⁰ adalah abc + K, bukan K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pencar padahal kutub ketiga atau nol menarik tempat kedudukan.
  • Menghilangkan tanda pada titik berat: faktor (s + 4) adalah kutub di s = −4.
Tes mandiri Apakah s³ + s² + 2s + 8 = 0 persamaan karakteristik yang stabil?
  1. Tidak: a₂·a₁ = 2 kurang dari a₀ = 8
  2. Tidak: polinomial kubik tidak pernah stabil
  3. Ya: koefisiennya tidak berganti tanda
  4. Ya: semua koefisiennya positif

Jawaban: Tidak: a₂·a₁ = 2 kurang dari a₀ = 8. Entri s¹ adalah (1·2 − 8)/1 = −6, jadi kolom pertama 1, 1, −6, 8 berganti tanda dua kali: dua kutub berada di setengah bidang kanan. Koefisien positif saja tidak cukup.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: tabel Routh dan jumlah kutub. Anda menghitung kutub setengah bidang kanan dari polinomial kubik atau kuartik, mencari satu entri tabel, mencari kutub loop tertutup untuk plant orde satu, atau penguatan yang menempatkannya pada titik tertentu.
  • Sedang: rentang K. Anda mencari penguatan stabil terbesar, frekuensi osilasi pada penguatan itu, penguatan terkecil yang menstabilkan plant tidak stabil, atau seberapa jauh penguatan dapat dinaikkan.
  • Sulit: tempat kedudukan akar. Anda mencari titik berat asimtot, perpotongan dengan sumbu imajiner, titik pencar dan titik temu, sudut keberangkatan dari kutub kompleks, atau penguatan pada titik atau rasio redaman tertentu.

Untuk penguatan pada suatu rasio redaman, tulis polinomial karakteristik dan bandingkan dengan s² + 2ζωns + ωn².

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
R(s)+K1s + 10C(s)−

Penguatan proporsional K mengendalikan plant G(s) = 1/(s + 10) dalam loop umpan balik satuan. Cari penguatan K yang menempatkan kutub loop tertutup di s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Tentukan K

Tampilkan petunjuk
  1. Kutub loop tertutup adalah akar s + 10 + 1K = 0.
  2. Masukkan s = −10,5 ke persamaan itu.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil bila setiap akar polinomial karakteristiknya terletak di setengah bidang kiri pada bidang-s. Tulis koefisien secara bergantian ke dua baris pertama tabel Routh. Setiap entri baris baru berasal dari dua baris di atasnya; untuk polinomial kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ adalah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Jumlah perubahan tanda pada kolom pertama sama dengan jumlah akar di setengah bidang kanan. Dengan penguatan K pada koefisien, setiap entri kolom pertama harus tetap positif: penguatan yang membuat entri s¹ sama dengan nol adalah batas kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi osilasi yang terus-menerus.

Persamaan karakteristik

s + 10 + 1K = 0

Penguatan yang diperlukan

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Jawaban

K = 0,5
Contoh 2Sedang
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Plant G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) memiliki kutub tidak stabil di s = 4. Penguatan proporsional K menutup loop umpan balik satuan di sekelilingnya. Cari penguatan terkecil Kmin yang membuat loop tertutup stabil.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Tentukan Kmin

Tampilkan petunjuk
  1. Polinomial karakteristiknya adalah (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Polinomial orde dua stabil bila kedua koefisien positif.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil bila setiap akar polinomial karakteristiknya terletak di setengah bidang kiri pada bidang-s. Tulis koefisien secara bergantian ke dua baris pertama tabel Routh. Setiap entri baris baru berasal dari dua baris di atasnya; untuk polinomial kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ adalah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Jumlah perubahan tanda pada kolom pertama sama dengan jumlah akar di setengah bidang kanan. Dengan penguatan K pada koefisien, setiap entri kolom pertama harus tetap positif: penguatan yang membuat entri s¹ sama dengan nol adalah batas kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi osilasi yang terus-menerus.

Polinomial karakteristik

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Syarat

Untuk s² + c₁s + c₀ semua akar terletak di setengah bidang kiri tepat ketika c₁ > 0 dan c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Jawaban

Kmin = 3
Contoh 3Sulit
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Tempat kedudukan akar dari L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) meninggalkan sumbu real di antara s = 0 dan s = −4. Cari titik pencar sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Tentukan sb

Tampilkan petunjuk
  1. Pada sumbu real K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Setel dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Ambil akar yang terletak di antara 0 dan −4.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Tempat kedudukan akar: saat penguatan K bergerak dari 0 ke ∞, kutub loop tertutup, yaitu akar 1 + K·G(s) = 0, bergerak dari kutub loop terbuka menuju nol loop terbuka atau menuju tak hingga. Suatu titik pada sumbu real termasuk dalam tempat kedudukan bila jumlah kutub dan nol real di sebelah kanannya ganjil. n − m cabang yang menuju tak hingga mengikuti asimtot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang berawal dari titik berat σₐ = (Σ kutub − Σ nol)/(n − m). Cabang meninggalkan atau bergabung dengan sumbu real di tempat dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuknya, dan syarat besar K = 1/|G(s)| memberikan penguatan di titik mana pun pada tempat kedudukan.

Penguatan sepanjang sumbu real

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Titik stasioner

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Pilih titik pada tempat kedudukan

Tempat kedudukan terletak pada sumbu real di antara 0 dan −4; akar yang lain bukan bagian dari tempat kedudukan.

sb = −1,761

Jawaban

sb = −1,761

Tanya jawab

Apa itu Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar?

Sistem stabil bila setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran terbatas. Setelah gangguan, sistem yang stabil menetap; sistem yang tidak stabil lepas kendali atau berosilasi dengan amplitudo yang membesar.

Perilakunya ditentukan oleh kutub loop tertutup: akar-akar polinomial karakteristiknya. Kutub di s = p menambahkan suku ept pada respons.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar langkah demi langkah?
  1. Tulis polinomial karakteristik loop tertutup: penyebut dari 1 + K·G(s) = 0, setelah dijabarkan.
  2. Masukkan koefisien secara bergantian ke dua baris pertama tabel Routh lalu susun baris-baris sisanya.
  3. Hitung perubahan tanda pada kolom pertama: masing-masing adalah satu kutub di setengah bidang kanan. Dengan K dalam tabel, syaratkan bahwa setiap entri kolom pertama tetap positif.
  4. Untuk tempat kedudukan akar, tandai kutub dan nol, segmen sumbu real, asimtot dari titik berat, dan titik pisah di tempat dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk penguatan di suatu titik.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar?
  • Menyimpulkan bahwa sistem stabil hanya karena semua koefisien positif; untuk orde tiga atau lebih tinggi itu tidak cukup.
  • Melupakan suku konstanta plant saat K ditambahkan: dengan tiga kutub di luar titik asal, entri s⁰ adalah abc + K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pencar padahal ada kutub ketiga atau nol di dekatnya.
  • Menggunakan letak kutub tanpa tandanya dalam rumus titik berat.
Apa saja yang dilatih dalam soal Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar?
  • Mudah: Tabel Routh dan jumlah kutub
  • Sedang: rentang K untuk kestabilan
  • Sulit: tempat kedudukan akar

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Transformasi LaplaceDiagram blok

Kalkulator

Kalkulator kriteria kestabilan Routh–Hurwitz

Mata kuliah dengan topik ini

Teknik Kendali 1Teknik Kontrol 2: Perancangan Kontrol Umpan BalikLatihan ujian FE Electrical and Computer

Topik lain di Elektro

Resistor seri & paralelSuperposisiThévenin & NortonAnalisis simpulAnalisis meshTransien RC & RLImpedansi AC & fasorDaya AC & faktor dayaResonansi LC, faktor Q & lebar pitaDaya tiga fasaTransformatorMotor DCRangkaian op-ampDioda & transistorKonverter DC-DCLogika digital: gerbang, peta-K & flip-flopJembatan Wheatstone & strain gaugeAkuisisi data & samplingTransformasi LaplaceDiagram blokRespons langkahPlot Bode dan marginGalat keadaan tunak & kendali PIDKonvolusi & sistem LTI

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar dengan jawaban
Berlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar secara gratisBerlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akar sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.