Konvolusi & sistem LTI: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Konvolusi & sistem LTI gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: konvolusi diskret, konvolusi kontinu, respons impuls dan deret Fourier.

Soal latihan gratisMudah
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Barisan x[n] = {−3, 2, 4, 3} dan h[n] = {1, 1, 1} keduanya dimulai pada n = 0. Cari sampel y[1] dari konvolusi y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Soal berikutnya →
Berlatih Konvolusi & sistem LTI secara gratisBerlatih Konvolusi & sistem LTI sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahkonvolusi diskret
  2. Sedangkonvolusi kontinu
  3. Sulitrespons impuls dan deret Fourier

Cara menyelesaikan soal Konvolusi & sistem LTI

  1. Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
  2. Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
  3. Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
  4. Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.

Kesalahan umum

  • Mengalikan kedua sinyal sampel demi sampel alih-alih mengonvolusikannya.
  • Menggeser h tanpa membaliknya, yang menghasilkan korelasi.
  • Memakai rumus respons undak padahal yang ditanyakan respons impuls, atau sebaliknya.
  • Salah menghitung nomor harmonisa: komponen pada k/T adalah harmonisa ke-k.

Rumus utama

Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi kontinu
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan jumlah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Awal, akhir, dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Undak ke e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem orde satu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi orde satu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudo deret Fourier
persegi ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segitiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; deretan pulsa: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|

Pelajari Konvolusi & sistem LTI dari nol

Sebelum ini: Integral

1Apa yang dilakukan konvolusi

Sistem linear tak berubah waktu (LTI) digambarkan sepenuhnya oleh respons impuls-nya h: keluaran yang diberikannya ketika masukannya satu sentakan singkat.

Masukan apa pun dapat dipandang sebagai deretan sentakan yang diskalakan dan digeser. Setiap sentakan menghasilkan salinan h yang diskalakan dan digeser, dan keluarannya adalah jumlah semua salinan itu. Jumlah itu adalah konvolusi y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Konvolusi muncul di mana pun sistem memiliki memori: filter, sensor, struktur, rangkaian, dan penyebaran sinyal dalam waktu.

Tes mandiri Suatu sistem memiliki h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Masukannya adalah satu sampel x[0] = 2. Berapa keluarannya?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Jawaban: y[n] = {2, 6}. Satu sentakan setinggi 2 menghasilkan satu salinan h yang diskalakan 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Konvolusi mempertahankan bentuk h; ia tidak menjumlahkan sampel-sampelnya.

2Konvolusi diskret langkah demi langkah

Untuk barisan, konvolusi adalah penjumlahan:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Balikkan h: h[−k] adalah h yang dicerminkan terhadap k = 0.
  2. Geser h yang telah dibalik sejauh n.
  3. Kalikan sampel demi sampel dengan x lalu jumlahkan hasil kalinya. Itulah y[n].
  4. Ulangi untuk setiap n. Jika x memiliki Lx sampel dan h memiliki Lh, maka y memiliki Lx + Lh − 1 sampel, dimulai pada jumlah kedua indeks awal.

Pemeriksaan cepat: jumlah semua sampel y sama dengan (Σx)·(Σh).

Tes mandiri Untuk x[n] = {1, 2} dan h[n] = {3, 1}, keduanya dimulai pada n = 0, berapa y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Jawaban: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Hanya mengalikan x[1]·h[1] memberikan 2, dan 6 hanya mengambil satu dari dua hasil kali.

3Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Konvolusikan x[n] = {2, 1, −1} dengan h[n] = {1, 3}, keduanya dimulai pada n = 0.

1

Perhatikan barisan-barisannya

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x memiliki 3 sampel dan h memiliki 2, jadi y memiliki 3 + 2 − 1 = 4 sampel, dari n = 0 sampai n = 3.

2

y[0]

Hanya x[0] dan h[0] yang tumpang tindih.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] dan y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Periksa jawabannya

Σx = 2 dan Σh = 4, jadi Σy harus 8. Benar, 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Jawaban

y[n] = {2, 7, 2, −3} untuk n = 0 … 3.

4Konvolusi kontinu

Untuk sinyal waktu kontinu, penjumlahan menjadi integral:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Metodenya sama: balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali pada bagian tempat kedua sinyal tidak nol.

x(t)t12h(t)t1

Dengan x(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 1 s dan h(t) = e−tu(t), keluaran selama pulsa menyala adalah y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Pada t = 1 s nilainya mencapai 2(1 − e−1) = 1,26, dan setelah itu meluruh sebagai 1,26·e−(t − 1).

  • y dimulai pada jumlah kedua waktu awal dan berakhir pada jumlah kedua waktu akhir.
  • Luas di bawah y adalah luas di bawah x dikali luas di bawah h.
  • Dua pulsa persegi panjang menghasilkan trapesium; dua pulsa yang sama menghasilkan segitiga.
Tes mandiri x(t) tidak nol dari 0 sampai 2 s dan h(t) dari 1 s sampai 4 s. Kapan y(t) = x(t) ∗ h(t) berakhir?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Jawaban: 6 s. y berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir: 2 + 4 = 6 s. Awalnya pada 0 + 1 = 1 s, jadi berlangsung 5 s; 5 s adalah durasi, bukan akhir.

5Respons impuls dan deret Fourier

Sistem orde satu y′ + a·y = b·x memiliki respons impuls h(t) = b·e−atu(t). Padanan diskretnya y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] memiliki h[n] = b·aⁿ untuk n ≥ 0.

Sinusoida melewati sistem LTI dengan frekuensi yang tidak berubah. Ia diskalakan oleh |H(jω)| dan digeser oleh ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Untuk h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Sinyal periodik dengan periode T adalah jumlah harmonisa pada frekuensi k/T. Beberapa amplitudo standar:

  • Gelombang persegi antara −A dan +A: hanya k ganjil, amplitudo 4A/(kπ).
  • Gelombang segitiga antara −A dan +A: hanya k ganjil, amplitudo 8A/(π²k²).
  • Deretan pulsa setinggi A dan siklus kerja D: rata-rata A·D, harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Tes mandiri Gelombang persegi berpindah antara −2 dan +2. Berapa amplitudo harmonisa ketiganya?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Jawaban: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 adalah komponen dasar, 0,283 membagi dengan k² seperti pada segitiga, dan 0,424 memakai 2A/(kπ), rumus untuk gelombang dari 0 sampai A.

6Kesalahan umum

  • Mengalikan kedua sinyal sampel demi sampel alih-alih mengonvolusikannya.
  • Menggeser h tanpa membaliknya; itu menghasilkan korelasi, bukan konvolusi.
  • Mencampuradukkan respons impuls dan respons undak: respons undak adalah jumlah kumulatif atau integral dari h.
  • Salah menghitung harmonisa: komponen pada k/T adalah harmonisa ke-k.
Tes mandiri x[n] = {1, 2} dan h[n] = {1, 1}, keduanya dari n = 0. Berapa y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Jawaban: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Hasil kali sampel demi sampel x[1]·h[1] hanya memberikan 2.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: konvolusi diskret. Anda mencari satu sampel keluaran, sampel terbesar, jumlah semua sampel, indeks pertama atau terakhir dari y, keluaran filter FIR, atau respons terhadap undak.
  • Sedang: konvolusi kontinu. Anda mencari y(t) pada waktu tertentu untuk dua pulsa, eksponensial dengan undak atau pulsa, atau dua eksponensial, serta luas, awal, akhir, atau durasi y.
  • Sulit: respons impuls dan deret Fourier. Anda mencari h(t) dari PD orde satu, h[n] atau respons undak dari suatu rekursi, penguatan atau fase untuk sinusoida, atau harmonisa dari gelombang persegi, segitiga, atau pulsa.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Barisan x[n] = {4, −3, −2} dan h[n] = {3, 1} keduanya dimulai pada n = 0. Cari sampel y[1] dari konvolusi y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Tentukan y[1]

Tampilkan petunjuk
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Untuk n = 1 suku-sukunya adalah k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Konvolusi diskret: keluaran sistem linear tak berubah waktu adalah y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: balikkan h, geser sejauh n, kalikan sampel demi sampel dengan x lalu jumlahkan. Jika x memiliki Lx sampel yang dimulai pada nx dan h memiliki Lh sampel yang dimulai pada nh, maka y memiliki Lx + Lh − 1 sampel yang dimulai pada nx + nh. Jumlah semua sampel y sama dengan (Σx)·(Σh). Filter FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … adalah konvolusi dengan h[n] = bn.

Suku-suku penjumlahan

Hanya k yang membuat x[k] dan h[n − k] sama-sama ada yang menyumbang.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Jumlahkan

y[1] = −5

Jawaban

y[1] = −5
Contoh 2Sedang
x(t)t11h(t)t1

Pulsa x(t) = 1 untuk 0 ≤ t < 1 s (nol di tempat lain) diberikan ke sistem dengan h(t) = e−2tu(t). Cari keluaran y(2,5) pada t = 2,5 s, setelah pulsa berakhir.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Tentukan y(2.5)

Tampilkan petunjuk
  1. Tulis pulsa sebagai undak pada t = 0 dikurangi undak pada t = 1 s.
  2. Respons undaknya adalah (A/a)(1 − e−at).
  3. Setelah pulsa: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Konvolusi kontinu: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali bagian-bagian yang tumpang tindih. Untuk sinyal kausal integralnya berjalan dari 0 sampai t. Hasil yang berguna: luas y sama dengan luas x dikali luas h; jika x berlangsung dari t₁ sampai t₂ dan h dari t₃ sampai t₄, maka y berlangsung dari t₁ + t₃ sampai t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan undak setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Keluaran di akhir pulsa

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Peluruhan setelah pulsa

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Jawaban

y(2,5) = 0,02152
Contoh 3Sulit
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Suatu sistem memenuhi y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Cari respons impulsnya pada t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Tentukan h(0.05)

Tampilkan petunjuk
  1. Lakukan transformasi Laplace dengan syarat awal nol: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Respons impuls dan deret Fourier: respons impuls h(t) menggambarkan sistem LTI sepenuhnya: untuk y′ + a·y = b·x responsnya h(t) = b·e−atu(t), dan untuk y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] responsnya h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt melewatinya dengan penguatan |H(jω)| dan fase ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Sinyal periodik adalah jumlah harmonisa pada k/T: gelombang persegi ±A hanya memiliki harmonisa ganjil dengan amplitudo 4A/(kπ), gelombang segitiga dengan puncak A memiliki 8A/(π²k²), dan deretan pulsa setinggi A dengan siklus kerja D memiliki rata-rata A·D dan harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Fungsi alih

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Respons impuls

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Jawaban

h(0,05) = 2,336

Tanya jawab

Apa itu Konvolusi & sistem LTI?

Sistem linear tak berubah waktu (LTI) digambarkan sepenuhnya oleh respons impuls-nya h: keluaran yang diberikannya ketika masukannya satu sentakan singkat.

Masukan apa pun dapat dipandang sebagai deretan sentakan yang diskalakan dan digeser. Setiap sentakan menghasilkan salinan h yang diskalakan dan digeser, dan keluarannya adalah jumlah semua salinan itu. Jumlah itu adalah konvolusi y = x ∗ h.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Konvolusi & sistem LTI langkah demi langkah?
  1. Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
  2. Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
  3. Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
  4. Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Konvolusi & sistem LTI?
  • Mengalikan kedua sinyal sampel demi sampel alih-alih mengonvolusikannya.
  • Menggeser h tanpa membaliknya, yang menghasilkan korelasi.
  • Memakai rumus respons undak padahal yang ditanyakan respons impuls, atau sebaliknya.
  • Salah menghitung nomor harmonisa: komponen pada k/T adalah harmonisa ke-k.
Apa saja yang dilatih dalam soal Konvolusi & sistem LTI?
  • Mudah: konvolusi diskret
  • Sedang: konvolusi kontinu
  • Sulit: respons impuls dan deret Fourier

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Integral

Mata kuliah dengan topik ini

Sinyal dan SistemMatematika Teknik 2

Topik lain di Elektro

Resistor seri & paralelSuperposisiThévenin & NortonAnalisis simpulAnalisis meshTransien RC & RLImpedansi AC & fasorDaya AC & faktor dayaResonansi LC, faktor Q & lebar pitaDaya tiga fasaTransformatorMotor DCRangkaian op-ampDioda & transistorKonverter DC-DCLogika digital: gerbang, peta-K & flip-flopJembatan Wheatstone & strain gaugeAkuisisi data & samplingTransformasi LaplaceDiagram blokRespons langkahPlot Bode dan marginKestabilan: Routh–Hurwitz & tempat kedudukan akarGalat keadaan tunak & kendali PID

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Konvolusi & sistem LTI dengan jawaban
Berlatih Konvolusi & sistem LTI secara gratisBerlatih Konvolusi & sistem LTI sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.