Kalkulator nilai eigen dan vektor eigen

Masukkan nilai Anda. Jawaban dan penyelesaian lengkapnya diperbarui saat Anda mengetik.

Hasil

λ15
λ23
λ32
Polinomial karakteristikλ³ − 10λ² + 31λ − 30
Trace10
Determinan30
Nilai eigenMultiplisitasVektor eigenVektor eigen satuan
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

Cari nilai eigen dan vektor eigen matriks 2×2 atau 3×3. Kalkulator menjabarkan det(A − λI) menjadi polinomial karakteristik, menyelesaikannya untuk nilai eigen real atau kompleks beserta multiplisitasnya, dan mencari vektor eigen setiap nilai eigen real dengan menyelesaikan (A − λI)v = 0. Setiap vektor eigen diperiksa dengan menghitung A·v, dan untuk nilai eigen berulang kalkulator menunjukkan apakah matriks dapat didiagonalisasi.

Penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan karakteristik det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, jumlah minor utama 2×2 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

Nilai eigen

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
Periksa: Σλ = 10 = tr A

Vektor eigen (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

Vektor eigen (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

Vektor eigen (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

Rumus utama

Nilai eigen
det(A − λI) = 0

Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen

  1. Kurangkan λ dari setiap entri diagonal A untuk mendapatkan A − λI.
  2. Samakan determinan dengan nol: det(A − λI) = 0. Untuk matriks 2×2 ini adalah λ² − (tr A)λ + det A = 0; untuk matriks 3×3 ini adalah persamaan kubik.
  3. Selesaikan persamaan karakteristiknya. Periksa: jumlah nilai eigen sama dengan trace dan hasil kalinya sama dengan determinan.
  4. Untuk setiap nilai eigen, selesaikan (A − λI)v = 0 dengan reduksi baris. Solusinya membentuk garis (atau bidang); setiap vektor tak nol di dalamnya adalah vektor eigen.
  5. Periksa setiap vektor eigen: A·v harus sama dengan λ·v.

Tanya jawab

Bagaimana cara memasukkan matriksnya?

Ketik baris-barisnya dipisahkan titik koma dan angka dalam setiap baris dipisahkan spasi, misalnya 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 untuk matriks 3×3. Desimal dan bilangan negatif diperbolehkan.

Mengapa matriks dapat memiliki nilai eigen kompleks?

Polinomial karakteristik dapat memiliki akar kompleks, dan untuk matriks real akar itu selalu muncul berpasangan konjugat. Matriks rotasi 0 -1; 1 0 memiliki nilai eigen ±i, karena tidak ada vektor real yang mempertahankan arahnya setelah rotasi.

Apa arti nilai eigen berulang?

Akar polinomial karakteristik dengan multiplisitas 2 atau 3. Matriks tetap dapat memiliki sebanyak itu vektor eigen bebas, seperti matriks identitas, atau lebih sedikit. Bila lebih sedikit, matriks itu defektif dan tidak dapat didiagonalisasi.

Apakah vektor eigen itu tunggal?

Tidak. Kelipatan tak nol mana pun dari suatu vektor eigen juga merupakan vektor eigen. Kalkulator menampilkan bentuk sederhana, dengan bilangan bulat bila mungkin, dan vektor satuan dengan panjang 1.

Untuk apa nilai eigen dipakai?

Nilai eigen memberikan frekuensi alami sistem bergetar, tegangan utama dari tensor tegangan, kestabilan sistem persamaan diferensial, dan arah utama dalam analisis komponen utama.

Berlatihlah sendiri

Matriks & determinan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkahCara menyelesaikan soal Matriks & determinanLembar kerja Matriks & determinan dengan jawaban

Latih Matriks & determinan

Kalkulator memberi jawabannya. Dalam ujian Anda perlu metodenya: latihlah dengan soal baru, petunjuk, dan pembahasan.

Berlatih Matriks & determinan secara gratisBerlatih Matriks & determinan sekarangContoh dengan pembahasan
</> Sematkan

Gratis untuk guru dan sekolah: tempel kode ini di halaman kursus, LMS, atau situs Anda. Mahasiswa bisa memakai kalkulator dan penyelesaian langkah demi langkahnya tanpa akun.

Kalkulator lainnya

Kalkulator skor z dan peluang normalKalkulator selang kepercayaanKalkulator ukuran sampelKalkulator rata-rata, median, dan simpangan bakuKalkulator regresi linearKalkulator uji kecocokan chi-kuadratKalkulator determinan dan invers matriksKalkulator distribusi normalKalkulator distribusi binomialKalkulator distribusi Poisson