Matriks & determinan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Matriks & determinan gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: determinan 2×2, 3×3 dan perkalian, nilai eigen dan sistem.

Soal latihan gratisMudah
A =9−6−8−5

Tentukan determinan det A dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [9 −6; −8 −5]

Jawaban pasti: bilangan bulat, tanpa pembulatan.

Soal berikutnya →
Berlatih Matriks & determinan secara gratisBerlatih Matriks & determinan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahdeterminan 2×2
  2. Sedang3×3 dan perkalian
  3. Sulitnilai eigen dan sistem

Rumus utama

determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)

Pelajari Matriks & determinan dari nol

1Matriks dan determinan 2×2

Matriks adalah tabel bilangan dalam baris dan kolom. Matriks dengan 2 baris dan 3 kolom disebut matriks 2×3: baris dulu, lalu kolom.

Insinyur memakai matriks untuk menulis banyak persamaan sekaligus. Sistem 2x + y = 5 dan x − y = 1 disimpan sebagai matriks koefisiennya [2 1; 1 −1].

Matriks persegi memiliki satu bilangan khusus, determinannya, ditulis det A. Untuk matriks 2×2 ia adalah hasil kali satu diagonal dikurangi hasil kali diagonal lainnya.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Untuk [3 1; 2 4] determinannya 3·4 − 1·2 = 10.

Jika det A = 0, matriks tidak memiliki invers, dan sistem persamaan tidak memiliki solusi tunggal.

Tes mandiri Berapa determinan [4 2; 3 5]? (Baris 1 adalah 4 2, baris 2 adalah 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Jawaban: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Menjumlahkan kedua hasil kali memberi 26, dan mengambil bc − ad memberi −14.

2Determinan 3×3 dan hasil kali

Untuk matriks 3×3, ekspansikan sepanjang baris pertama. Setiap entri dikalikan dengan minornya: determinan 2×2 yang tersisa bila Anda mencoret baris dan kolom entri itu.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Tandanya + − + sepanjang baris pertama. Pola tanda ini bagian yang paling mudah terlupa.

Hasil kali matriks AB dibentuk dari baris-baris A dan kolom-kolom B. Entri pada baris i, kolom j adalah baris i dari A kali kolom j dari B: kalikan pasangannya dan jumlahkan.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Hasil kali hanya ada bila A memiliki kolom sebanyak baris B. Pada umumnya AB tidak sama dengan BA.

Tes mandiri A = [2 1; 0 3] dan B = [1 4; 2 1]. Berapa entri pada baris 1, kolom 2 dari AB?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Jawaban: 9. Baris 1 dari A adalah (2, 1) dan kolom 2 dari B adalah (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Mengalikan hanya entri yang bersesuaian memberi 1·4 = 4, dan 13 adalah entri dari BA.

3Nilai eigen dan sistem

Nilai eigen λ dari A adalah bilangan yang memenuhi A·v = λ·v untuk suatu vektor v ≠ 0. Matriks hanya meregangkan vektor itu, tidak memutarnya.

Anda mencari nilai eigen dari persamaan karakteristik. Di sini I adalah matriks identitas [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

Untuk matriks 2×2 ini menjadi persamaan kuadrat. Koefisien tengahnya adalah trace a + d, dan konstantanya det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Untuk [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, jadi (λ − 2)(λ − 5) = 0 dan nilai eigennya 2 dan 5.

Aturan Cramer menyelesaikan sistem dengan determinan. Ganti kolom i dari A dengan ruas kanan untuk mendapatkan Ai, lalu xi = det Ai / det A.

Untuk 2x + y = 5 dan x − y = 1: det A = −3 dan det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, jadi x = −6/−3 = 2.

Tes mandiri Berapa nilai eigen yang lebih besar dari [2 1; 1 2]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Jawaban: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 memberi (λ − 1)(λ − 3) = 0, jadi nilai eigennya 1 dan 3. 4 adalah trace, yaitu jumlah nilai eigen, bukan salah satunya.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Salin matriks dengan teliti, termasuk setiap tanda minus.
  2. Determinan 2×2: ad − bc.
  3. Determinan 3×3: untuk setiap entri baris pertama, coret baris dan kolomnya lalu cari minor 2×2.
  4. Gabungkan dengan tanda + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Nilai eigen: tulis λ² − (a + d)λ + det A = 0 lalu selesaikan persamaan kuadratnya.
  6. Periksa: baris berisi nol semua, atau dua baris yang sama, selalu memberi det A = 0.

Tip: ekspansikan sepanjang baris atau kolom yang banyak nolnya. Setiap entri nol menghemat satu minor.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Tentukan determinan matriks 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

Minor pertama

210131024A =

Coret baris 1 dan kolom 1 dari entri 2. Yang tersisa adalah [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Minor kedua

210131024A =

Coret baris 1 dan kolom 2 dari entri 1. Yang tersisa adalah [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Minor ketiga

Entri a13 adalah 0, jadi sukunya 0 berapa pun minornya. Anda dapat melewatinya.

4

Gabungkan dengan + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Periksa jawabannya

Untuk matriks 3×3, aturan Sarrus memberi nilai yang sama: tiga hasil kali diagonal “turun” dikurangi tiga hasil kali diagonal “naik”.

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Jawaban

det A = 16

6Kesalahan umum

  • Lupa tanda minus pada suku tengah dalam ekspansi 3×3.
  • Menghitung bc − ad, bukan ad − bc.
  • Kehilangan tanda minus ketika entri negatif: −2 · −3 adalah +6.
  • Mengalikan matriks entri demi entri, bukan baris kali kolom.
  • Mengambil trace atau entri diagonal sebagai nilai eigen, bukan menyelesaikan persamaan karakteristik.
Tes mandiri Berapa determinan [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Jawaban: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Memakai + untuk suku tengah memberi 2 + 12 = 14, kekeliruan yang paling umum.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: determinan matriks 2×2, sering dengan entri negatif. Gunakan ad − bc.
  • Sedang: determinan 3×3 atau hasil kali matriks. Ekspansikan sepanjang baris pertama dengan + − +.
  • Sulit: nilai eigen matriks 2×2, atau satu bilangan tak diketahui dari sistem 2×2 dengan aturan Cramer.

Pemeriksaan cepat untuk nilai eigen: jumlahnya harus sama dengan trace a + d dan hasil kalinya det A.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
A =1−8−10

Tentukan determinan det A dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [1 −8; −1 0]

Tentukan det A

Tampilkan petunjuk
  1. Untuk matriks 2×2, det = ad − bc.
  2. a dan d berada di diagonal utama, b dan c di diagonal lainnya.
  3. ad = 0.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Hasil kali diagonal

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Jawaban

det A = −8
Contoh 2Sedang
A =−153−5−1−3−513

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Tentukan det A

Tampilkan petunjuk
  1. Ekspansikan sepanjang baris pertama dengan tanda + − +.
  2. Setiap suku adalah entri dikali determinan 2×2 yang tersisa saat baris dan kolomnya dicoret.
  3. minor: 0, −30, −10.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Ekspansi kofaktor

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Jawaban

det A = 120
Contoh 3Sulit
A =−3−5−2−4b =19

Selesaikan sistem −3x − 5y = 1 dan −2x − 4y = 9. Tentukan x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Tentukan x

Tampilkan petunjuk
  1. Aturan Cramer: x = det(Aₓ)/det(A), dengan kolom pertama Aₓ diganti ruas kanan.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Determinan matriks koefisien

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Ganti kolom x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

Jawaban

x = 20,5
y = −12,5

Tanya jawab

Apa itu Matriks & determinan?

Insinyur memakai matriks untuk menulis banyak persamaan sekaligus. Sistem 2x + y = 5 dan x − y = 1 disimpan sebagai matriks koefisiennya [2 1; 1 −1].

Matriks persegi memiliki satu bilangan khusus, determinannya, ditulis det A. Untuk matriks 2×2 ia adalah hasil kali satu diagonal dikurangi hasil kali diagonal lainnya.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Matriks & determinan langkah demi langkah?

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Apa saja yang dilatih dalam soal Matriks & determinan?
  • Mudah: determinan 2×2
  • Sedang: 3×3 dan perkalian
  • Sulit: nilai eigen dan sistem

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Kalkulator

Kalkulator determinan dan invers matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)

Mata kuliah dengan topik ini

Matematika TeknikMatematika Teknik 2Metode Numerik

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Matriks & determinan dengan jawaban
Berlatih Matriks & determinan secara gratisBerlatih Matriks & determinan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.