Metode numerik: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Metode numerik gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: akar dan interpolasi, kaidah trapesium dan Simpson, Euler, Heun, dan Runge–Kutta.
Soal latihan gratisMudah
Terapkan Newton–Raphson pada f(x) = e−x − x dengan nilai awal x₀ = 0. Carilah x2.
Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Kesalahan umum
Mempertahankan setengah interval bisection yang salah, atau salah menghitung langkah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ pada Newton–Raphson.
Memberi simpul bagian dalam bobot 1 pada kaidah trapesium, atau memakai Simpson dengan jumlah pita ganjil.
Membulatkan iterasi terlalu dini.
Melakukan satu langkah Euler terlalu sedikit atau terlalu banyak untuk mencapai waktu akhir.
Rumus utama
Bisection
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Banyak persamaan dan integral tidak memiliki rumus untuk jawabannya: x = cos x, ∫e−x²dx, atau sebagian besar persamaan diferensial. Metode numerik menghitung jawabannya langkah demi langkah dengan ketelitian apa pun yang Anda perlukan.
Metode bisection mencari akar f(x) = 0 pada interval [a, b] tempat f berganti tanda. Ambil titik tengah c = (a + b)/2 dan pertahankan setengah bagian tempat tanda masih berganti.
Contoh: f(x) = x² − 2 pada [1; 2]. c₁ = 1,5 memberi f = 0,25 > 0, jadi pertahankan [1; 1,5]. c₂ = 1,25 memberi f = −0,4375 < 0, jadi pertahankan [1,25; 1,5]. Lalu c₃ = 1,375.
Setiap langkah membagi dua interval, jadi setelah n langkah lebarnya (b − a)/2ⁿ. Bisection lambat tetapi selalu berhasil begitu Anda memiliki pergantian tanda.
Tes mandiri Bisection mulai pada interval sepanjang 1. Berapa lebar interval setelah 10 langkah?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Jawaban: 1/1024. Setiap langkah membaginya dua: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Membagi dengan 10 atau 20 memperlakukan pembagian dua itu seolah-olah bersifat penjumlahan.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson mengikuti garis singgung turun ke sumbu-x dan memakai titik potong itu sebagai tebakan berikutnya:
Di dekat akar, Newton kira-kira menggandakan jumlah digit benar pada setiap langkah. Metode ini bisa gagal bila f′(xₙ) mendekati 0, atau bila titik awal jauh dari akar.
Pertahankan minimal enam angka pada setiap iterasi; pembulatan dini menghentikan metode ini dari perbaikan.
Tes mandiri Satu langkah Newton untuk f(x) = x² − 5 dari x₀ = 2 memberi…
1,75
2,25
2,2
2,5
Jawaban: 2,25. f(2) = −1 dan f′(2) = 4, jadi x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Menambahkan −1/4 dan bukan mengurangkannya memberi 1,75.
3Interpolasi linear
Tabel hanya memberi nilai pada titik-titik tertentu. Interpolasi linear menarik garis lurus di antara dua titik tabel yang bertetangga:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Contoh: tabel memberi f(1) = 2,0 dan f(2) = 2,6. Pada x = 1,4 pecahannya 0,4, jadi f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Interpolasi invers bekerja dengan cara yang sama tetapi sebaliknya: untuk mencari x tempat y = 2,3, pecahannya (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, jadi x ≈ 1,5.
4Kaidah trapesium dan kaidah Simpson
Untuk mengintegralkan f dari a sampai b, bagi interval menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀, x₁, …, xₙ.
Kaidah trapesium mengganti kurva pada setiap pita dengan garis lurus. Setiap simpul bagian dalam milik dua pita, jadi dihitung dua kali:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Kaidah Simpson mencocokkan parabola melalui tiga simpul sekaligus. Kaidah ini memerlukan n genap:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Untuk ∫01 x² dx = 1/3 dengan n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, sedangkan S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, eksak.
Galat trapesium mengecil seperti h² dan galat Simpson seperti h⁴: membagi dua h membuat Simpson sekitar 16 kali lebih akurat.
Tes mandiri Bobot apa yang diberikan kaidah trapesium kepada simpul x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Jawaban: 1, 2, 2, 1. Kedua titik ujung milik satu pita dan titik bagian dalam milik dua pita, jadi 1, 2, 2, 1 dengan faktor h/2. Angka 4 milik kaidah Simpson.
5Euler dan Heun untuk persamaan diferensial
Untuk y′ = f(t, y) dengan y(t₀) = y₀, melangkahlah maju dalam waktu dengan langkah h. Metode Euler memakai kemiringan di awal setiap langkah:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Metode Heun (Euler yang diperbaiki) memprediksi dengan Euler, lalu merata-ratakan kemiringan di kedua ujung: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Galat Euler sebanding dengan h, galat Heun dengan h². Metode Runge–Kutta klasik (RK4) memakai empat kemiringan dan akurat sampai h⁴.
Contoh soal
Selesaikan y′ = y, y(0) = 1 dengan metode Euler dan h = 0,1 sampai t = 0,3, dan bandingkan dengan solusi eksak eᵗ.
1
Langkah 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Langkah 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Langkah 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Bandingkan
Nilai eksaknya e0,3 = 1,349859, jadi galat globalnya 0,0189. Satu langkah Heun dari y₀ akan memberi 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 dibandingkan e0,1 = 1,105171.
Jawaban
y(0,3) ≈ 1,331 dengan Euler; galat 0,019 mengecil kira-kira sebanding dengan h.
6Kesalahan umum dan soal ujian
Menghitung titik tengah bisection pertama sebagai langkah 0, atau mempertahankan setengah interval yang salah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ pada metode Newton.
Lupa faktor 2 pada simpul bagian dalam, atau memakai h dan bukan h/2 pada kaidah trapesium.
Memakai kaidah Simpson dengan jumlah pita ganjil.
Pada metode Euler, memakai kemiringan di akhir langkah, atau melakukan satu langkah terlalu sedikit.
Mudah: bisection, iterasi Newton, dan interpolasi pada tabel. Sedang: kaidah trapesium dan Simpson, galatnya, dan jumlah pita yang diperlukan. Sulit: langkah Euler, Heun, dan Runge–Kutta untuk persamaan diferensial.
Tes mandiri y′ = 2y dengan y(0) = 1. Berapa hasil satu langkah Euler dengan h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Jawaban: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Lupa faktor 2 pada kemiringan memberi 1,2; 1,49 adalah nilai eksak e0,4.
Metode bisection mulai pada interval sepanjang 4. Setiap langkah membagi dua interval. Berapa langkah n yang diperlukan paling sedikit sebelum interval lebih pendek dari 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Tentukan n
Tampilkan petunjuk
Setelah n langkah interval memiliki panjang (b − a)/2ⁿ.
Selesaikan 4/2ⁿ < 0,0001, jadi 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Pencarian akar dan interpolasi: bisection mempertahankan interval [a, b] tempat f berganti tanda; setiap langkah mengambil titik tengah c = (a + b)/2 dan mempertahankan setengah bagian tempat tanda masih berganti, sehingga setelah n langkah lebar interval adalah (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson mengikuti garis singgung sampai sumbu: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); di dekat akar sederhana ia kira-kira menggandakan jumlah digit benar per langkah. Interpolasi linear antara dua titik tabel: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Syarat
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritma
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Periksa
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Jawaban
n = 16
Contoh 2Sedang
Hampiri ∫01,5 √(1 + x³) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 3 pita. Berikan T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Tentukan T
Tampilkan petunjuk
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; simpulnya 0, 0,5, 1, 1,5.
Bobot: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Jumlah berbobotnya adalah Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Banyak persamaan dan integral tidak memiliki rumus untuk jawabannya: x = cos x, ∫e−x²dx, atau sebagian besar persamaan diferensial. Metode numerik menghitung jawabannya langkah demi langkah dengan ketelitian apa pun yang Anda perlukan.
Contoh: f(x) = x² − 2 pada [1; 2]. c₁ = 1,5 memberi f = 0,25 > 0, jadi pertahankan [1; 1,5]. c₂ = 1,25 memberi f = −0,4375 < 0, jadi pertahankan [1,25; 1,5]. Lalu c₃ = 1,375.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Metode numerik langkah demi langkah?
Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Metode numerik?
Mempertahankan setengah interval bisection yang salah, atau salah menghitung langkah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ pada Newton–Raphson.
Memberi simpul bagian dalam bobot 1 pada kaidah trapesium, atau memakai Simpson dengan jumlah pita ganjil.
Membulatkan iterasi terlalu dini.
Melakukan satu langkah Euler terlalu sedikit atau terlalu banyak untuk mencapai waktu akhir.
Apa saja yang dilatih dalam soal Metode numerik?
Mudah: akar dan interpolasi
Sedang: kaidah trapesium dan Simpson
Sulit: Euler, Heun, dan Runge–Kutta
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.