Limit: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Limit gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: substitusi langsung dan pemfaktoran, limit di tak hingga, Aturan L'Hôpital.

Soal latihan gratisMudah
xy9x = 9

Cari limit L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Soal berikutnya →
Berlatih Limit secara gratisBerlatih Limit sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahsubstitusi langsung dan pemfaktoran
  2. Sedanglimit di tak hingga
  3. SulitAturan L'Hôpital

Rumus utama

Substitusi langsung
coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga
bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Aturan L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pelajari Limit dari nol

1Apa itu limit

Limit menggambarkan nilai yang didekati sebuah fungsi ketika x mendekati suatu bilangan. Tidak penting apa yang terjadi tepat di bilangan itu.

Ambil f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Pada x = 1 Anda mendapat 0/0, yang tidak bernilai. Tetapi Anda dapat mencoba bilangan yang dekat dengan 1.

  • x = 0,9 memberi f = 1,9.
  • x = 0,99 memberi f = 1,99.
  • x = 1,01 memberi f = 2,01.

Nilainya semakin dekat ke 2. Kita menulis:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Grafiknya garis lurus dengan satu titik hilang, sebuah lubang di (1, 2). Limitnya adalah tinggi lubang itu.

Tes mandiri Fungsi g memberi g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99, dan g(3,01) = 6,01. Fungsi ini tidak terdefinisi di x = 3. Berapa limitnya saat x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Tidak ada, karena g(3) tidak terdefinisi

Jawaban: 6. Nilainya mendekati 6 dari kedua sisi, jadi limitnya 6. Limit hanya melihat nilai di dekat x = 3, tidak pernah di x = 3 itu sendiri.

2Substitusi, 0/0, dan pemfaktoran

Selalu coba substitusi langsung dulu: masukkan bilangannya. Jika Anda mendapat bilangan biasa, itulah limitnya.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Jika Anda mendapat 0/0, Anda belum selesai. 0/0 disebut bentuk tak tentu: ia adalah isyarat untuk menyederhanakan, bukan jawaban.

Biasanya pembilang dan penyebut memiliki faktor sama yang bernilai nol di titik itu. Faktorkan keduanya, coret faktor sekutu, lalu substitusikan lagi.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Jadi limit saat x → 3 adalah 3 + 3 = 6. Pola faktor yang berguna:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Kuadrat seperti x² − x − 30 difaktorkan menjadi (x − 6)(x + 5): cari dua bilangan yang berhasil kali −30 dan berjumlah −1.

Dengan akar kuadrat, kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Tes mandiri Berapa limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Tidak ada, karena diperoleh 0/0

Jawaban: 4. Substitusi memberi 0/0, jadi faktorkan: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, yaitu 4 pada x = 2. Berhenti di 0/0 adalah kesalahan di balik “tidak ada”.

3Limit di tak hingga dan aturan L’Hôpital

x → ∞ berarti x tumbuh tanpa akhir. Untuk pecahan polinomial, hanya pangkat tertinggi yang berpengaruh bila x sangat besar.

Bagi setiap suku dengan pangkat tertinggi x di penyebut. Suku seperti 4/x dan 7/x² menuju 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Pangkat tertinggi sama di pembilang dan penyebut: limitnya adalah perbandingan koefisien utama.
  • Pangkat lebih tinggi di penyebut: limitnya 0.
  • Pangkat lebih tinggi di pembilang: pecahan tumbuh tanpa akhir, jadi tidak ada limit berhingga.

Untuk √(x² + 6x) − x, kalikan dengan sekawannya. Anda mendapat 6x/(√(x² + 6x) + x), yang menuju 6/(1 + 1) = 3.

Aturan L’Hôpital: jika substitusi memberi 0/0 atau ∞/∞, Anda boleh mengganti pembilang dan penyebut dengan turunannya, masing-masing sendiri-sendiri.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Jika Anda mendapat 0/0 lagi, terapkan aturan sekali lagi. Limit trigonometri selalu memakai x dalam radian.

Tes mandiri Berapa limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Jawaban: 2. Pangkat tertingginya sama (x²), jadi limitnya adalah perbandingan koefisien utama: 4/2 = 2. ½ berasal dari pembagian dengan urutan terbalik.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Substitusikan bilangannya. Bilangan biasa adalah jawabannya.
  2. Jika Anda mendapat 0/0, faktorkan pembilang dan penyebut, atau kalikan dengan sekawan bila ada akar.
  3. Coret faktor sekutu lalu substitusikan lagi.
  4. Jika x → ∞, bagi setiap suku dengan pangkat tertinggi x dan biarkan suku seperti a/x menuju 0.
  5. Jika pemfaktoran tidak berhasil (eˣ, sin, cos, ln), gunakan aturan L’Hôpital pada bentuk 0/0 atau ∞/∞.
  6. Periksa dengan bilangan yang sangat dekat dengan titik itu, misalnya x = 1,001.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Tentukan L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Coba substitusi

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Ini bentuk tak tentu 0/0, jadi Anda harus menyederhanakan dulu.

2

Faktorkan pembilang

8 = 2³, jadi pembilang adalah jumlah kubus dengan a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Coret faktor sekutu

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Ini diperbolehkan karena x hanya mendekati −2, sehingga x + 2 tidak pernah tepat 0.

4

Substitusikan lagi

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Periksa jawabannya

Coba x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, yang dekat dengan 12.

xy−212

Grafiknya parabola x² − 2x + 4 dengan lubang di (−2, 12).

Jawaban

L = 12

6Kesalahan umum

  • Menulis 0/0 sebagai jawaban, atau mengatakan limit tidak ada. 0/0 berarti: sederhanakan dulu.
  • Memakai aturan L’Hôpital ketika substitusi tidak memberi 0/0 atau ∞/∞.
  • Memakai aturan hasil bagi dalam aturan L’Hôpital. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
  • Di tak hingga, membandingkan suku-suku pertama yang tertulis, bukan pangkat tertinggi.
  • Memakai derajat, bukan radian, pada limit dengan sin atau cos.
Tes mandiri Berapa limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Tidak ada

Jawaban: 1. Substitusi memberi 2/2 = 1, bilangan biasa, jadi itulah limitnya. Memakai L’Hôpital di sini (2x/1 = 2) salah, karena bentuknya bukan 0/0.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: substitusi langsung dan pemfaktoran. Substitusi memberi 0/0, lalu Anda memfaktorkan dan mencoret, seperti pada contoh.
  • Sedang: limit di tak hingga. Bagi dengan pangkat tertinggi, atau pakai sekawan untuk akar seperti √(x² + 4x) − x.
  • Sulit: aturan L’Hôpital, misalnya (eˣ − 1 − x)/x² atau (1 − cos 3x)/x² saat x → 0. Anda mungkin memerlukan aturan itu dua kali.

Pemeriksaan cepat: masukkan bilangan yang sangat dekat dengan titik itu memakai kalkulator. Hasilnya harus dekat dengan jawaban Anda.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xyx = 1

Cari limit L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Tentukan L

Tampilkan petunjuk
  1. Substitusi menghasilkan 0/0. Faktorkan pembilangnya.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Coba substitusi langsung

pembilang → 0 dan penyebut → 0, sehingga bentuknya 0/0.

Faktorkan dan coret

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Substitusikan

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Jawaban

L = 4

Ini adalah turunan xⁿ di x = a: n·aⁿ⁻¹.

Contoh 2Sedang
xyy = L

Cari limit L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Tentukan L

Tampilkan petunjuk
  1. Bentuknya 1^∞. Tulis L = e^(ln L) dan cari ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Untuk u kecil, ln(1 + u) ≈ u. Di sini u = 1/x.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Batalkan logaritmanya

L = e1 = 2,718

Jawaban

L = 2,718
Contoh 3Sulit
xyx = 0

Cari limit L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Tentukan L

Tampilkan petunjuk
  1. Di x = 0: ln 1 = 0 dan sin 0 = 0, sehingga bentuknya 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Substitusikan x = 0 ke dalam f′/g′.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Aturan L'Hôpital

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Substitusikan x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

Tanya jawab

Apa itu Limit?

Limit menggambarkan nilai yang didekati sebuah fungsi ketika x mendekati suatu bilangan. Tidak penting apa yang terjadi tepat di bilangan itu.

Ambil f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Pada x = 1 Anda mendapat 0/0, yang tidak bernilai. Tetapi Anda dapat mencoba bilangan yang dekat dengan 1.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Limit langkah demi langkah?

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Limit?
  • Pertahankan setiap suku faktor kedua: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), dan di x = a semua n suku bernilai sama.
  • Bentuk 1^∞ adalah bentuk tak tentu, bukan 1. Ambil logaritma natural dulu.
  • Pertahankan turunan pembilang di atas: lim f/g = lim f′/g′.
Apa saja yang dilatih dalam soal Limit?
  • Mudah: substitusi langsung dan pemfaktoran
  • Sedang: limit di tak hingga
  • Sulit: Aturan L'Hôpital

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Lanjutkan dengan

TurunanBarisan & deret

Mata kuliah dengan topik ini

Kalkulus 1Matematika TeknikSoal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

TurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Limit dengan jawaban
Berlatih Limit secara gratisBerlatih Limit sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.