Selang kepercayaan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Selang kepercayaan gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: selang z, selang t, ukuran sampel.

Soal latihan gratisMudah
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Dalam jajak pendapat terhadap 100 pemilih yang dipilih secara acak, 55 mendukung suatu usulan. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk proporsi pendukung.

n = 100x = 5590%
Soal berikutnya →
Berlatih Selang kepercayaan secara gratisBerlatih Selang kepercayaan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahselang z
  2. Sedangselang t
  3. Sulitukuran sampel

Cara menyelesaikan soal Selang kepercayaan

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Kesalahan umum

  • Lupa membagi dengan √n.
  • Memakai z padahal sampelnya kecil dan σ tidak diketahui.
  • Membulatkan ukuran sampel ke bawah alih-alih ke atas.

Rumus utama

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Pelajari Selang kepercayaan dari nol

Sebelum ini: Distribusi normal

1Apa itu selang kepercayaan

Anda ingin mengetahui rata-rata μ seluruh populasi, misalnya umur rata-rata semua baterai yang dibuat sebuah pabrik. Anda tidak bisa menguji semuanya, jadi Anda menguji sampel sebanyak n baterai.

Rata-rata sampel x̄ adalah tebakan terbaik Anda untuk μ, tetapi sampel lain akan menghasilkan x̄ yang sedikit berbeda. Satu angka saja menyembunyikan ketidakpastian itu.

Selang kepercayaan memberikan rentang: x̄ dikurangi suatu margin, sampai x̄ ditambah suatu margin.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Selang kepercayaan 95% dibangun dengan metode yang menangkap μ sebenarnya pada 95% dari semua sampel. Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang yang lebih lebar.

Tes mandiri Anda menghitung selang kepercayaan 90% dan 99% dari sampel yang sama. Mana yang lebih lebar?
  1. Bergantung pada rata-rata sampel
  2. Keduanya sama lebar
  3. Selang 90%
  4. Selang 99%

Jawaban: Selang 99%. Agar lebih yakin bahwa selang memuat μ, selang itu harus lebih lebar. Nilai kritis 99%, yaitu 2,576, lebih besar daripada nilai 90%, yaitu 1,645.

2Selang z

Jika simpangan baku populasi σ diketahui, selangnya adalah:

x̄ ± z · σ / √n

Suku σ/√n adalah galat baku: seberapa besar x̄ bervariasi dari sampel ke sampel. Sampel yang lebih besar menghasilkan galat baku yang lebih kecil.

Nilai kritis z bergantung pada tingkat kepercayaan. Hafalkan ketiga ini:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Margin galat adalah E = z · σ/√n. Selang membentang dari x̄ − E (batas bawah) sampai x̄ + E (batas atas).

Tes mandiri Sampel berukuran 64 memiliki rata-rata 55. σ populasi adalah 12. Berapa batas atas selang kepercayaan 95%?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Jawaban: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, sehingga batas atasnya 57,94. Lupa √n menghasilkan 78,52, dan 57,47 memakai nilai 90% yaitu 1,645.

3Selang t dan ukuran sampel

Biasanya σ tidak diketahui. Maka Anda memakai simpangan baku sampel s, dan nilai kritisnya berasal dari distribusi t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Banyaknya derajat kebebasan df adalah n − 1. Nilai t lebih besar daripada z, sehingga selangnya lebih lebar: selang itu memperhitungkan ketidakpastian tambahan pada s. Untuk n besar, t mendekati z.

Pada 95%: t = 2,262 untuk df = 9, t = 2,131 untuk df = 15, dan t = 2,045 untuk df = 29.

Kadang Anda harus merencanakan ukuran sampel: seberapa besar n agar margin galat paling besar E? Selesaikan E = zσ/√n untuk n:

n = (z · σ / E)²

Selalu bulatkan ke atas ke bilangan bulat berikutnya. Pembulatan ke bawah akan menghasilkan margin yang sedikit lebih besar daripada E.

Tes mandiri σ = 13. Seberapa besar sampel yang diperlukan untuk selang 95% dengan margin galat paling besar 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Jawaban: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, dibulatkan ke atas menjadi 163. Pembulatan ke bawah menjadi 162 menghasilkan margin sedikit di atas 2, dan 13 lupa mengkuadratkan.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tuliskan n, x̄, dan σ atau s.
  2. Pilih z (σ diketahui) atau t dengan df = n − 1 (hanya s yang diketahui).
  3. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  4. Hitung galat baku: σ/√n atau s/√n.
  5. Margin galat: E = nilai kritis × galat baku.
  6. Selang: dari x̄ − E sampai x̄ + E. Berikan batas yang ditanyakan.

Untuk soal ukuran sampel: n = (zσ/E)², dibulatkan ke atas.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Sampel 16 butir memiliki rata-rata 40 dan simpangan baku s = 6. Populasinya kira-kira normal. Cari selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

1

z atau t?

Hanya simpangan baku sampel s yang diketahui, bukan σ. Jadi pakai t dengan df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Galat baku

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Margin galat

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Selangnya

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Periksa jawabannya

Dengan z = 1,96 margin akan menjadi 2,94. Selang t sedikit lebih lebar, sebagaimana mestinya ketika σ tidak diketahui.

Jawaban

Selang kepercayaan 95% adalah [36,80; 43,20].

6Kesalahan umum

  • Lupa membagi dengan √n.
  • Memakai z padahal sampelnya kecil dan σ tidak diketahui.
  • Memakai df = n, bukan df = n − 1, untuk t.
  • Memakai nilai 90% yaitu 1,645 untuk selang 95%.
  • Membulatkan ukuran sampel ke bawah alih-alih ke atas.
Tes mandiri Sampel n = 10 memiliki simpangan baku s = 5. σ tidak diketahui. Nilai kritis mana yang Anda pakai untuk selang 95%?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Jawaban: t = 2,262 (df = 9). σ tidak diketahui, jadi pakai t dengan df = n − 1 = 9. Memakai z mengabaikan ketidakpastian pada s, dan df = 10 lupa dikurangi satu.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: selang z. σ diketahui; cari batas bawah atau batas atas.
  • Sedang: selang t. Hanya s yang diberikan; nilai t dengan n − 1 derajat kebebasan diberikan atau berasal dari tabel.
  • Sulit: ukuran sampel. Cari n terkecil untuk margin galat tertentu, dan bulatkan ke atas.

Pemeriksaan cepat: rata-rata sampel selalu tepat berada di tengah selang.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Sebuah sampel berisi 200 pengukuran memiliki rata-rata 174,5. Simpangan baku populasi diketahui sebesar 30. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Tentukan batas atas

Tampilkan petunjuk
  1. σ diketahui, jadi gunakan nilai kritis z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Margin galat

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Selang

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Jawaban

batas atas = 178
Contoh 2Sedang
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 50 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 7,8. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 100 pengamatan?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Tentukan E₂

Tampilkan petunjuk
  1. E = z·σ/√n, dan σ tetap sama.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Margin baru

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Jawaban

E₂ = 5,515
Contoh 3Sulit
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Diameter 21 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 1,2 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 20, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 9,591 dan 2,5% berada di atas 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Tentukan σ (µm)

Tampilkan petunjuk
  1. Untuk populasi normal, (n − 1)s²/σ² mengikuti distribusi χ² dengan derajat bebas n − 1.
  2. Selang untuk σ²: dari (n − 1)s²/34,17 sampai (n − 1)s²/9,591. Ambil akar kuadratnya untuk σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Batas untuk σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Batas untuk σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Jawaban

σ = 1,733 µm

Selang 95% untuk σ: [0,9181, 1,733] µm.

Tanya jawab

Apa itu Selang kepercayaan?

Anda ingin mengetahui rata-rata μ seluruh populasi, misalnya umur rata-rata semua baterai yang dibuat sebuah pabrik. Anda tidak bisa menguji semuanya, jadi Anda menguji sampel sebanyak n baterai.

Rata-rata sampel x̄ adalah tebakan terbaik Anda untuk μ, tetapi sampel lain akan menghasilkan x̄ yang sedikit berbeda. Satu angka saja menyembunyikan ketidakpastian itu.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Selang kepercayaan langkah demi langkah?
  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Selang kepercayaan?
  • Lupa membagi dengan √n.
  • Memakai z padahal sampelnya kecil dan σ tidak diketahui.
  • Membulatkan ukuran sampel ke bawah alih-alih ke atas.
Apa saja yang dilatih dalam soal Selang kepercayaan?
  • Mudah: selang z
  • Sedang: selang t
  • Sulit: ukuran sampel

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Distribusi normal

Lanjutkan dengan

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Kalkulator

Kalkulator selang kepercayaanKalkulator ukuran sampel

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika DasarStatistika 2: Inferensi StatistikPraktik Berbasis BuktiSoal latihan AP StatisticsLatihan metode kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Selang kepercayaan dengan jawaban
Berlatih Selang kepercayaan secara gratisBerlatih Selang kepercayaan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.