Logika proposisional & pembuktian: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Logika proposisional & pembuktian gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: tabel kebenaran, ekuivalensi dan metode pembuktian, kuantor dan argumen.
Soal latihan gratisMudah
Lengkapi tabel kebenaran (1 = benar, 0 = salah). Pada berapa baris N bernilai benar (p → r) ↔ (r ∨ q)?
Pelajari Logika proposisional & pembuktian dari nol
1Pernyataan dan penghubung
Proposisi adalah pernyataan yang benar atau salah, seperti “7 adalah bilangan prima”. Kita menuliskannya dengan huruf, p atau q, dan nilai kebenarannya sebagai 1 (benar) atau 0 (salah).
Penghubung membangun rumus yang lebih besar dari rumus yang lebih kecil:
¬p (bukan p) membalik nilainya.
p ∧ q (dan) bernilai 1 hanya jika keduanya 1.
p ∨ q (atau) bernilai 0 hanya jika keduanya 0. Ini adalah atau inklusif: keduanya boleh benar.
p → q (jika p maka q) bernilai 0 hanya jika p = 1 dan q = 0.
p ↔ q (jika dan hanya jika) bernilai 1 jika p dan q bernilai sama.
Implikasi mengejutkan banyak mahasiswa: ketika p salah, p → q benar apa pun nilai q. Janji “jika hujan, saya membawa payung” hanya dilanggar pada hari hujan tanpa payung.
Tes mandiri p = 0 dan q = 1. Berapa nilai p → q?
0
1
Bergantung pada konteks
Tidak terdefinisi
Jawaban: 1. Implikasi hanya salah ketika syarat terpenuhi dan kesimpulan gagal (p = 1, q = 0). Dengan p = 0 implikasi itu benar, apa pun nilai q.
2Tabel kebenaran
Tabel kebenaran mendaftar setiap kombinasi nilai kebenaran variabel. Dengan n variabel yang berbeda ada 2ⁿ baris: 4 untuk dua variabel, 8 untuk tiga, 16 untuk empat. Variabel yang muncul dua kali tetap dihitung sekali.
Bekerjalah dari dalam ke luar. Beri setiap subformula kolomnya sendiri, sehingga setiap kolom baru hanya perlu menerapkan satu penghubung pada kolom yang sudah Anda miliki.
Daftarkan variabel dan tulis semua 2ⁿ kombinasi, dimulai dengan semuanya 1.
Tambahkan kolom untuk setiap subformula, dimulai dari yang terdalam.
Isi setiap kolom dengan aturan penghubung utamanya.
Baca jawaban dari kolom terakhir: hitung angka 1, atau cari baris yang ditanyakan.
Tes mandiri Berapa baris yang dimiliki tabel kebenaran (p ∧ q) → (r ∨ p)?
16
4
6
8
Jawaban: 8. Rumus ini memiliki tiga variabel berbeda, p, q, dan r, jadi 2³ = 8 baris. p muncul dua kali tetapi tetap satu variabel; 16 adalah 2⁴ untuk empat kemunculan.
3Contoh soal lengkap
Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.
Contoh soal
Pada berapa baris tabel kebenarannya (p → q) ∧ ¬q bernilai benar?
1
Variabel dan baris
Dua variabel, p dan q, jadi 4 baris: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0).
2
Kolom p → q
Bernilai 0 hanya pada baris p = 1, q = 0:
p → q: 1, 0, 1, 1
3
Kolom ¬q
¬q: 0, 1, 0, 1
4
Konjungsi
Kedua kolom harus bernilai 1. Itu hanya terjadi pada baris terakhir, p = 0 dan q = 0.
(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
Jawaban
Rumus ini benar pada 1 baris, yaitu baris p = 0, q = 0. Itulah sebabnya p → q dan ¬q bersama-sama memberi ¬p (modus tollens).
4Ekuivalensi dan metode pembuktian
Dua rumus ekuivalen (≡) jika kolom tabel kebenarannya identik. Tautologi bernilai 1 di setiap baris, kontradiksi bernilai 0 di setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya.
Hukum yang paling sering dipakai:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Hukum-hukum ini menjadi dasar metode pembuktian. Pembuktian dengan kontrapositif untuk p → q membuktikan ¬q → ¬p, yang ekuivalen. Pembuktian dengan kontradiksi mengandaikan p ∧ ¬q, satu-satunya cara implikasi itu gagal, lalu menurunkan sesuatu yang mustahil.
Hati-hati: konvers q → p dan invers ¬p → ¬q tidak ekuivalen dengan p → q.
Tes mandiri Rumus mana yang ekuivalen dengan ¬(p ∧ q)?
p ∨ q
¬p ∧ q
¬p ∧ ¬q
¬p ∨ ¬q
Jawaban: ¬p ∨ ¬q. Menurut De Morgan ∧ menjadi ∨ dan kedua bagian dinegasikan. ¬p ∧ ¬q adalah negasi dari p ∨ q, pernyataan yang berbeda: salah jika tepat satu dari p dan q benar, padahal ¬(p ∧ q) benar.
5Kuantor dan argumen valid
Dengan variabel pada suatu domain, ∀x P(x) berarti “P berlaku untuk setiap x” dan ∃x P(x) berarti “P berlaku untuk paling sedikit satu x”. Negasi menukar kuantornya:
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Pindahkan negasi ke dalam satu langkah demi satu langkah; di dalam, pakai hukum proposisional. Misalnya ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): “tidak setiap P adalah Q” berarti “ada P yang bukan Q”.
Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Bentuk valid klasik adalah modus ponens (p → q, p, jadi q), modus tollens (p → q, ¬q, jadi ¬p), dan silogisme hipotetis (p → q, q → r, jadi p → r).
Baris dengan semua premis bernilai 1 dan kesimpulan bernilai 0 adalah contoh penyangkal. Menegaskan konsekuen (p → q, q, jadi p) tidak valid: baris p = 0, q = 1 adalah contoh penyangkalnya.
Tes mandiri Apa negasi dari “setiap mahasiswa lulus”, ∀x P(x)?
¬P(x) untuk satu mahasiswa x tertentu
∀x ¬P(x): tidak ada mahasiswa yang lulus
∃x P(x): ada mahasiswa yang lulus
∃x ¬P(x): ada mahasiswa yang tidak lulus
Jawaban: ∃x ¬P(x): ada mahasiswa yang tidak lulus. Satu mahasiswa yang gagal sudah cukup untuk membuat “setiap mahasiswa lulus” salah. “Tidak ada mahasiswa yang lulus” jauh lebih kuat daripada negasinya.
6Kesalahan umum
Menganggap p → q salah ketika p salah. Implikasi hanya salah ketika p = 1 dan q = 0.
Menghitung variabel yang berulang dua kali saat mencari banyaknya baris.
Mengacaukan kontrapositif ¬q → ¬p dengan konvers q → p atau invers ¬p → ¬q.
Menegasikan ∀x P(x) sebagai ∀x ¬P(x): kuantor harus berubah menjadi ∃.
Menuliskan ¬(p ∧ q) sebagai ¬p ∧ ¬q: De Morgan juga menukar penghubungnya.
Tes mandiri Pernyataan mana yang merupakan kontrapositif dari “jika n² genap, maka n genap”?
Jika n ganjil, maka n² ganjil
Jika n genap, maka n² genap
Jika n² ganjil, maka n ganjil
n² genap dan n ganjil
Jawaban: Jika n ganjil, maka n² ganjil. Tukar kedua bagian dan negasikan keduanya: bukan (n genap) → bukan (n² genap). “Jika n genap, maka n² genap” adalah konvers; pilihan terakhir adalah yang diandaikan dalam pembuktian dengan kontradiksi.
7Seperti apa soal ujiannya
Mudah: tabel kebenaran. Anda mencari banyaknya baris, menghitung baris yang membuat rumus benar, atau mengeklik satu baris yang membuat rumus benar atau salah.
Sedang: ekuivalensi dan metode pembuktian. Anda menentukan apakah suatu rumus tautologi, kontradiksi, atau kontingensi, memilih rumus yang ekuivalen, atau pernyataan yang dibuktikan dengan kontrapositif atau kontradiksi.
Sulit: kuantor dan argumen. Anda menegasikan pernyataan berkuantor, memilih kesimpulan yang mengikuti dari premis, mengeklik baris contoh penyangkal dari argumen tidak valid, atau menghitung baris benar pada tabel empat variabel.
Tepat satu baris tabel kebenaran membuat ¬(p ∨ q) → q salah. Klik baris itu.
¬(p ∨ q) → q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
Tampilkan petunjuk
a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0. ¬a membalik nilainya. a ∨ b bernilai 0 hanya jika keduanya 0.
Tentukan dulu penghubung utamanya: seperti apa kedua sisinya agar seluruh rumus bernilai 0?
Beri setiap bagian kolomnya sendiri: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
Tampilkan jawaban dan penjelasan
Tabel kebenaran: rumus dengan n variabel berbeda memiliki 2ⁿ baris, satu untuk setiap kombinasi nilai kebenaran (1 = benar, 0 = salah). Bekerjalah dari dalam ke luar dan beri setiap subformula kolomnya sendiri. ¬a membalik nilainya; a ∧ b bernilai 1 hanya jika keduanya 1; a ∨ b bernilai 0 hanya jika keduanya 0; a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0; a ↔ b bernilai 1 jika kedua sisi sama.
Rumus mana yang ekuivalen secara logis dengan (b ∧ c) → a? Klik rumus itu.
(b ∧ c) → a
1(b → a) ∧ (c → a)
2b → (c → a)
3b ∧ (c → a)
4(b → c) → a
Tampilkan petunjuk
Rumus yang ekuivalen sama pada setiap baris tabel kebenaran. Satu baris yang berbeda menyingkirkan sebuah pilihan.
Coba baris yang membuat (b ∧ c) → a bernilai 0 dan periksa pilihan mana yang juga bernilai 0 di sana.
Eksportasi: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Keduanya bernilai 0 hanya jika a = 1, b = 1, dan c = 0.
Tampilkan jawaban dan penjelasan
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Hukumnya
Eksportasi: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Keduanya bernilai 0 hanya jika a = 1, b = 1, dan c = 0.
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)
Periksa dengan tabel kebenaran
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0
Jawaban
b → (c → a)
Kolom setelah garis adalah pilihan dalam urutan yang ditampilkan.
Contoh 3Sulit
Premis (q ∧ p) → r; q; ¬r diberikan. Kesimpulan mana yang mengikuti dari premis-premis itu? Klik kesimpulan itu.
(q ∧ p) → rq¬r
1p
2p ∧ ¬r
3¬p
4r
Tampilkan petunjuk
Suatu kesimpulan mengikuti jika bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1.
Cari baris yang membuat semua premis bernilai 1, lalu uji setiap pilihan pada baris-baris itu.
Ini aturan baku: modus tollens dengan konjungsi.
Tampilkan jawaban dan penjelasan
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Baris dengan semua premis benar
p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0
Kesimpulan
¬p (modus tollens dengan konjungsi)
Jawaban
¬p
Tanya jawab
Apa itu Logika proposisional & pembuktian?
Penghubung membangun rumus yang lebih besar dari rumus yang lebih kecil:
Implikasi mengejutkan banyak mahasiswa: ketika p salah, p → q benar apa pun nilai q. Janji “jika hujan, saya membawa payung” hanya dilanggar pada hari hujan tanpa payung.
Hitung banyaknya variabel yang berbeda: tabel kebenaran memiliki 2ⁿ baris, dimulai dengan semuanya bernilai 1.
Beri setiap subformula kolomnya sendiri dan isi kolom-kolom itu dari dalam ke luar.
Terapkan aturan setiap penghubung: → bernilai 0 hanya untuk 1 → 0, ↔ bernilai 1 jika kedua sisi sama.
Untuk ekuivalensi, bandingkan kolom akhir baris demi baris; untuk suatu argumen, lihat hanya baris yang semua premisnya bernilai 1.
Untuk menegasikan pernyataan berkuantor, pindahkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, lalu negasikan rumus di dalamnya.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Logika proposisional & pembuktian?
Menganggap p → q salah ketika p salah.
Menghitung variabel yang berulang dua kali saat mencari banyaknya baris.
Mengacaukan kontrapositif ¬q → ¬p dengan konvers q → p.
Menegasikan ∀x P(x) sebagai ∀x ¬P(x) dan bukan ∃x ¬P(x).
Menerapkan De Morgan tanpa menukar ∧ dan ∨.
Apa saja yang dilatih dalam soal Logika proposisional & pembuktian?
Mudah: tabel kebenaran
Sedang: ekuivalensi dan metode pembuktian
Sulit: kuantor dan argumen
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.