Statistika deskriptif: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Statistika deskriptif gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: rata-rata dan median, simpangan baku, distribusi normal.
Statistika deskriptif meringkas daftar bilangan, yang disebut data, dengan beberapa nilai. Pertanyaan pertama adalah: di mana pusatnya?
Rata-rata (mean) adalah rerata biasa: jumlahkan semua nilai lalu bagi dengan banyaknya, n.
x̄ = Σx / n
Lambang Σ berarti “jumlahkan semuanya”, dan x̄ dibaca “x bar”. Untuk 3, 5, dan 10 rata-ratanya adalah 18/3 = 6.
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan dari kecil ke besar.
n ganjil: median adalah nilai tunggal di tengah. Untuk 3, 5, 10 mediannya 5.
n genap: median adalah rata-rata dua nilai tengah.
Satu nilai ekstrem, yaitu pencilan, menarik rata-rata ke arahnya tetapi hampir tidak menggeser median. Karena itu pendapatan sering diringkas dengan median.
Tes mandiri Berapa median dari 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Jawaban: 21. Setelah diurutkan: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Dua nilai tengahnya adalah 20 dan 22, sehingga mediannya 21. 25,5 berasal dari mengambil nilai tengah daftar yang belum diurutkan; 22 adalah rata-rata.
2Sebaran: simpangan baku
Dua kumpulan data dapat memiliki rata-rata yang sama tetapi sebaran yang sangat berbeda. Simpangan baku s mengukur seberapa jauh nilai-nilai biasanya berada dari rata-rata.
Setiap nilai memiliki simpangan x − x̄. Simpangan berjumlah nol, jadi Anda mengkuadratkannya terlebih dahulu, yang membuat semuanya positif.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Ini adalah simpangan baku sampel: Anda membagi dengan n − 1, bukan dengan n. Kuadrat s disebut varians.
Untuk 2, 4, dan 6: rata-ratanya 4, simpangannya −2, 0, dan 2, kuadratnya berjumlah 8, 8/2 = 4, dan s = √4 = 2.
Tes mandiri Berapa simpangan baku sampel dari 2, 4, dan 6?
0
1,633
2
4
Jawaban: 2. Σ(x − x̄)² = 8, dibagi n − 1 = 2 menghasilkan 4, dan √4 = 2. Membagi dengan n = 3 menghasilkan 1,633; 4 lupa akar kuadrat, dan 0 adalah jumlah simpangan sebelum dikuadratkan.
3Skor-z dan distribusi normal
Banyak pengukuran, seperti tinggi badan atau nilai ujian, mengikuti kurva berbentuk lonceng: distribusi normal. Pusatnya adalah rata-rata μ dan lebarnya adalah simpangan baku σ.
Skor-z menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai berada dari rata-rata:
z = (x − μ) / σ
Dengan μ = 70 dan σ = 10, skor 74 memiliki z = 4/10 = 0,4. z negatif berarti nilai berada di bawah rata-rata.
Aturan 68–95–99,7: sekitar 68% nilai berada dalam 1σ dari rata-rata, 95% dalam 2σ, dan 99,7% dalam 3σ.
Dengan μ = 50 dan σ = 5, nilai 60 memiliki z = 2. Sekitar 95% berada di antara 40 dan 60, sehingga sekitar 2,5% berada di atas 60. Tabel z memberikan nilai tepat 0,0228.
Tes mandiri Skor IQ berdistribusi normal dengan μ = 100 dan σ = 15. Kira-kira berapa persen orang yang mendapat skor di atas 115?
16%
32%
34%
68%
Jawaban: 16%. 115 berada 1σ di atas rata-rata. 68% berada dalam 1σ, jadi 32% berada di luar, terbagi sama rata pada kedua ekor: 16% di atas. 32% lupa membagi dua ekor.
4Metode ini selangkah demi selangkah
Tuliskan data dalam satu baris dan hitung n.
Rata-rata: jumlahkan semuanya lalu bagi dengan n.
Median: urutkan terlebih dahulu, lalu ambil nilai tengah, atau rata-rata dua nilai tengah.
Simpangan baku: kurangkan rata-rata dari setiap nilai, kuadratkan, jumlahkan, bagi dengan n − 1, lalu tarik akar kuadrat.
Skor-z: kurangkan μ, bagi dengan σ. Lalu pakai aturan 68–95–99,7 atau tabel z untuk mendapatkan proporsi.
Tabel dengan kolom x, x − x̄, dan (x − x̄)² membuat perhitungan simpangan baku tetap rapi.
5Contoh soal lengkap
Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.
Contoh soal
Cari rata-rata, median, dan simpangan baku sampel s dari data: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Rata-rata
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Median
Setelah diurutkan: 4, 5, 6, 7, 8. Dengan n = 5, nilai tengahnya adalah yang ketiga.
median = 6
3
Simpangan dan kuadratnya
Kurangkan rata-rata dari setiap nilai: −2, 2, 0, −1, 1. Periksa: jumlahnya 0.
Kuadratkan: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Bagi dengan n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Tarik akar kuadrat
s = √2,5 ≈ 1,58
Periksa: nilai-nilai berada 0, 1, atau 2 dari rata-rata, jadi jarak tipikal sekitar 1,6 masuk akal.
Jawaban
Rata-rata x̄ = 6, median 6, dan s ≈ 1,58.
6Kesalahan umum
Mengambil nilai tengah daftar tanpa mengurutkannya terlebih dahulu.
Membagi dengan n, bukan n − 1, untuk simpangan baku sampel.
Lupa akar kuadrat di akhir, yang menghasilkan varians, bukan s.
Salah tanda pada skor-z: nilai di bawah rata-rata memiliki z negatif.
Lupa membagi dengan σ pada skor-z.
Tes mandiri Nilai ujian memiliki rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Berapa skor-z untuk nilai 60?
1
6
−10
−1
Jawaban: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Nilai itu berada di bawah rata-rata, jadi z negatif. −10 lupa membagi dengan σ.
7Seperti apa soal ujiannya
Mudah: rata-rata atau median dari daftar data yang pendek.
Sedang: simpangan baku sampel dari lima atau enam nilai. Bagi dengan n − 1.
Sulit: distribusi normal. Cari skor-z, atau proporsi nilai di atas atau di bawah nilai tertentu.
Pemeriksaan cepat: rata-rata dan median berada di antara nilai terkecil dan terbesar, dan s tidak pernah negatif.
Tentukan median M dari data: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Tentukan M
Tampilkan petunjuk
Urutkan nilai dari terkecil ke terbesar.
Dengan jumlah nilai ganjil, median adalah nilai tengah.
terurut: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Urutkan
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Nilai tengah
M = 18
Jawaban
M = 18
Contoh 2Sedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Tentukan s
Tampilkan petunjuk
Tentukan rata-rata terlebih dahulu.
Kuadratkan setiap simpangan dari rata-rata, jumlahkan, bagi dengan n − 1, lalu ambil akar kuadratnya.
x̄ = 37,71.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Tentukan P
Tampilkan petunjuk
Ubah ke skor z terlebih dahulu.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Baca Φ(z) dari tabel normal baku.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −2
Tabel normal baku
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
Tanya jawab
Apa itu Statistika deskriptif?
Statistika deskriptif meringkas daftar bilangan, yang disebut data, dengan beberapa nilai. Pertanyaan pertama adalah: di mana pusatnya?
Lambang Σ berarti “jumlahkan semuanya”, dan x̄ dibaca “x bar”. Untuk 3, 5, dan 10 rata-ratanya adalah 18/3 = 6.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Statistika deskriptif langkah demi langkah?
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Apa saja yang dilatih dalam soal Statistika deskriptif?
Mudah: rata-rata dan median
Sedang: simpangan baku
Sulit: distribusi normal
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.