Uji chi-kuadrat: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Uji chi-kuadrat gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: uji kecocokan, uji independensi, keputusan dengan nilai kritis.

Soal latihan gratisMudah
warnamerahoranyekuninghijaubiruteramati6129442145diklaim30%20%20%15%15%

Sebuah produsen permen mengklaim proporsi warna seperti yang ditunjukkan dalam tabel. Sampel acak 200 permen memberikan frekuensi teramati. Hitung statistik uji kecocokan chi-kuadrat χ² untuk H₀: proporsi yang diklaim benar.

n = 200k = 5
Soal berikutnya →
Berlatih Uji chi-kuadrat secara gratisBerlatih Uji chi-kuadrat sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahuji kecocokan
  2. Sedanguji independensi
  3. Sulitkeputusan dengan nilai kritis

Rumus utama

Statistik uji
χ² = Σ(O − E)²/E
Uji kecocokan
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independensi
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai kritis (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

Pelajari Uji chi-kuadrat dari nol

Sebelum ini: Uji hipotesis & selang kepercayaan

1Apa yang dilakukan uji chi-kuadrat

Uji chi-kuadrat (χ²) membandingkan cacah. Uji ini menanyakan apakah cacah yang Anda amati berbeda dari cacah yang diharapkan lebih dari sekadar kebetulan.

Contoh: Anda melempar dadu 60 kali. Jika dadu itu adil, setiap sisi seharusnya muncul sekitar 60 · 1/6 = 10 kali. Itulah cacah harapan E.

Anda mengamati 8, 12, 9, 11, 6, dan 14. Itulah cacah teramati O. Nilainya tidak pernah tepat 10, bahkan untuk dadu yang adil. Pertanyaannya adalah apakah selisihnya terlalu jauh.

Seperti pada setiap uji hipotesis, H₀ menyatakan bahwa tidak ada yang istimewa: dadunya adil, atau dua variabel saling bebas.

Tes mandiri Sebuah dadu dilempar 120 kali untuk menguji apakah dadu itu adil. Berapa cacah harapan untuk setiap sisi?
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

Jawaban: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Peluang 1/6 bukan cacah; Anda harus mengalikannya dengan jumlah lemparan.

2Statistik uji

Untuk setiap kategori, ambil selisih O − E, kuadratkan, dan bagi dengan E. Lalu jumlahkan untuk semua kategori:

χ² = Σ (O − E)² / E

Pengkuadratan membuat setiap suku positif. Pembagian dengan E membuat selisih 4 lebih berarti ketika hanya 10 yang diharapkan daripada ketika 1000 yang diharapkan.

Untuk dadu: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4,2.

Derajat kebebasan untuk uji kecocokan (goodness-of-fit) ini adalah df = k − 1, dengan k jumlah kategori. Enam sisi memberikan df = 5.

χ² yang besar berarti data cocok dengan H₀ secara buruk. Tolak H₀ jika χ² lebih besar daripada nilai kritis dari tabel. Pada α = 0,05:

  • df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
  • df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592

Untuk dadu, 4,2 berada di bawah 11,070, sehingga tidak ada bukti bahwa dadu itu tidak adil.

Tes mandiri Satu kategori memiliki O = 14 dan E = 10. Berapa yang ditambahkannya ke χ²?
  1. 0,4
  2. 1,6
  3. 16
  4. 4

Jawaban: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Lupa mengkuadratkan menghasilkan 0,4, dan lupa membagi dengan E menghasilkan 16.

3Uji independensi

Tabel kontingensi menghitung kasus berdasarkan dua variabel sekaligus, seperti perlakuan (baris) dan hasil (kolom). H₀: kedua variabel saling bebas.

Jika keduanya bebas, cacah harapan pada setiap sel mengikuti dari total:

E = total baris × total kolom / total keseluruhan

Lalu χ² dihitung dengan rumus yang sama seperti sebelumnya, untuk setiap sel pada tabel, tanpa total.

df = (r − 1)(c − 1)

Di sini r adalah jumlah baris dan c jumlah kolom, tidak termasuk total. Tabel 2×2 memiliki df = 1.

Tes mandiri Pada tabel dengan total keseluruhan 120, sebuah sel memiliki total baris 40 dan total kolom 30. Berapa cacah harapannya?
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

Jawaban: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 lupa membagi dengan total keseluruhan.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Nyatakan H₀: proporsi yang diklaim benar (kecocokan), atau variabelnya saling bebas.
  2. Hitung setiap cacah harapan: E = n · p, atau total baris × total kolom / total keseluruhan.
  3. Untuk setiap sel, hitung (O − E)²/E. Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan χ².
  4. Cari df: k − 1 untuk uji kecocokan, (r − 1)(c − 1) untuk independensi.
  5. Cari nilai kritis untuk df tersebut pada α = 0,05.
  6. Tolak H₀ jika χ² lebih besar daripada nilai kritis. Nyatakan kesimpulan dengan kata-kata.

Periksa: cacah harapan pada setiap baris dan kolom berjumlah sama dengan total cacah teramati.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Dalam sebuah uji coba, 120 pasien mendapat obat baru (baris A) dan 100 mendapat plasebo (baris B). Kolom 1 menghitung pasien yang membaik, kolom 2 yang tidak. Uji pada α = 0,05 apakah hasilnya bebas dari perlakuan.

1

Baca tabelnya

12ΣABΣ56641205446100110110220

Total baris: 120 dan 100. Total kolom: 110 dan 110. Total keseluruhan: 220.

2

Frekuensi harapan

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

Statistiknya

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0,267 + 0,267 + 0,32 + 0,32 = 1,173
4

Derajat kebebasan dan nilai kritis

df = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3,841
5

Putuskan

3,8415%1,17χ²

1,173 lebih kecil daripada 3,841, sehingga χ² tidak berada di daerah penolakan. Jangan tolak H₀.

Jawaban

χ² ≈ 1,17 < 3,841: tidak ada bukti signifikan bahwa perbaikan bergantung pada perlakuan.

6Kesalahan umum

  • Memakai persentase atau proporsi, bukan cacah. χ² hanya bekerja dengan cacah.
  • Membagi dengan O, bukan dengan E.
  • Menyertakan baris atau kolom total dalam penjumlahan.
  • Memakai df yang salah: untuk tabel nilainya (r − 1)(c − 1), bukan jumlah sel dikurangi satu.
  • Menolak H₀ ketika χ² lebih kecil daripada nilai kritis. Hanya χ² yang besar yang merupakan bukti melawan H₀.
Tes mandiri Uji independensi memakai tabel dengan 3 baris dan 4 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasannya?
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

Jawaban: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 adalah jumlah sel dikurangi satu, yaitu aturan uji kecocokan yang keliru diterapkan pada tabel.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: uji kecocokan. Cacah sisi dadu atau warna permen terhadap proporsi yang diklaim; hitung χ².
  • Sedang: uji independensi. Hitung cacah harapan dari total, lalu χ², tanpa koreksi kontinuitas.
  • Sulit: keputusan dengan nilai kritis. Cari df dan nilai kritis χ²krit pada α = 0,05 dari tabel.

Pemeriksaan cepat: χ² tidak pernah negatif, dan bernilai 0 hanya jika setiap cacah teramati sama dengan cacah harapannya.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
mata dadu123456teramati534862505433

Sebuah dadu dilempar 300 kali untuk menguji apakah dadu itu adil. Frekuensi setiap mata dadu ditunjukkan. Hitung statistik uji kecocokan chi-kuadrat χ² untuk H₀: setiap mata dadu memiliki peluang 1/6.

n = 300k = 6

Tentukan χ²

Tampilkan petunjuk
  1. Frekuensi harapan di bawah H₀: E = n·p untuk setiap kategori.
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. Jumlahkan (O − E)²/E untuk semua kategori.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

Statistik chi-kuadrat

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9,24

Jawaban

χ² = 9,24

df = 5. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 11,070, sehingga H₀ tidak ditolak.

Contoh 2Sedang
batuktidak batukTotalperokok334780bukan perokok3961100Total72108180

Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.

N = 1802 × 2

Tentukan χ²

Tampilkan petunjuk
  1. Frekuensi harapan setiap sel: E = total baris × total kolom / total keseluruhan.
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. Jumlahkan (O − E)²/E untuk semua 4 sel.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Frekuensi harapan

perokok: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
bukan perokok: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

Statistik chi-kuadrat

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0,09375

Jawaban

χ² = 0,09375

df = 1. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 3,841, sehingga H₀ (independensi) tidak ditolak.

Contoh 3Sulit

Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 2 baris dan 6 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?

2 × 6

Tentukan df

Tampilkan petunjuk
  1. Derajat kebebasan menyatakan berapa banyak sel yang dapat bervariasi bebas setelah total (dan parameter yang diestimasi) ditetapkan.
  2. Uji kecocokan: k − 1, dikurangi satu untuk setiap parameter yang diestimasi.
  3. Independensi: (r − 1)(c − 1).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Derajat kebebasan

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Jawaban

df = 5

Tanya jawab

Apa itu Uji chi-kuadrat?

Uji chi-kuadrat (χ²) membandingkan cacah. Uji ini menanyakan apakah cacah yang Anda amati berbeda dari cacah yang diharapkan lebih dari sekadar kebetulan.

Contoh: Anda melempar dadu 60 kali. Jika dadu itu adil, setiap sisi seharusnya muncul sekitar 60 · 1/6 = 10 kali. Itulah cacah harapan E.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Uji chi-kuadrat langkah demi langkah?

Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Uji chi-kuadrat?
  • Bagi setiap selisih kuadrat dengan frekuensi harapan E, bukan dengan frekuensi teramati O.
  • Bagi setiap selisih kuadrat dengan frekuensi harapannya masing-masing E sebelum dijumlahkan, bukan totalnya dengan n.
  • Frekuensi harapan berasal dari total marginal, bukan dari membagi total secara merata: E = total baris × total kolom / total keseluruhan.
Apa saja yang dilatih dalam soal Uji chi-kuadrat?
  • Mudah: uji kecocokan
  • Sedang: uji independensi
  • Sulit: keputusan dengan nilai kritis

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Kalkulator

Kalkulator uji kecocokan chi-kuadrat

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika 2: Inferensi StatistikSoal latihan AP Statistics

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasi

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Uji chi-kuadrat dengan jawaban
Berlatih Uji chi-kuadrat secara gratisBerlatih Uji chi-kuadrat sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.