Vektor: hasil kali titik & silang: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Vektor: hasil kali titik & silang gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: besar dan komponen, hasil kali titik, hasil kali silang dan momen.

Soal latihan gratisMudah
xyza

Tentukan besar |a| dari vektor a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Soal berikutnya →
Berlatih Vektor: hasil kali titik & silang secara gratisBerlatih Vektor: hasil kali titik & silang sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahbesar dan komponen
  2. Sedanghasil kali titik
  3. Sulithasil kali silang dan momen

Cara menyelesaikan soal Vektor: hasil kali titik & silang

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Kesalahan umum

  • Menjumlahkan besar, bukan komponen.
  • Salah tanda pada komponen tengah (y) hasil kali silang.
  • Memakai posisi titik, bukan r = A − O, pada momen.
  • Mengambil arctan tanpa memeriksa kuadran.

Rumus utama

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Pelajari Vektor: hasil kali titik & silang dari nol

1Apa itu vektor

Beberapa besaran hanya memerlukan satu bilangan: massa 5 kg atau suhu 20 °C. Ini adalah skalar.

Besaran lain juga memerlukan arah. Gaya 40 N yang mendorong ke atas sangat berbeda dari 40 N yang mendorong ke samping. Ini adalah vektor.

Anda menggambarkan vektor dengan komponen-nya: sejauh apa ia menjangkau sepanjang x, y, dan z. Vektor a = (4, 3, 0) menjangkau 4 satuan sepanjang x, 3 sepanjang y, dan 0 sepanjang z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Gaya, perpindahan, dan kecepatan semuanya vektor. Insinyur memakai matematika vektor untuk menjumlahkan gaya, mencari sudut, dan menghitung momen dalam tiga dimensi.

Vektor dijumlahkan komponen demi komponen: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Begitulah cara mencari resultan beberapa gaya.

Tes mandiri Berapa panjang vektor a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Jawaban: 5. Panjangnya √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Menjumlahkan komponen (7) salah karena keduanya tegak lurus, dan 25 lupa akar kuadrat.

2Panjang, arah, dan komponen

Besar |a| adalah panjang vektor. Ini Pythagoras dalam tiga dimensi:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Vektor satuan memiliki panjang 1 dan menunjuk ke arah yang sama. Anda mendapatkannya dengan membagi setiap komponen dengan besarnya:

û = a / |a|

Untuk a = (0, 3, 4) besarnya 5, jadi û = (0, 0,6, 0,8). Periksa: 0,6² + 0,8² = 1.

Gaya pada bidang xy sering diberikan sebagai besar F dan sudut θ, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Komponennya:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Kosinus dan sinus memberi tanda secara otomatis. Gaya pada 120° memiliki komponen x negatif karena cos 120° = −0,5.

Saat kembali dari komponen ke sudut, arctan(Ry/Rx) hanya memberi jawaban antara −90° dan 90°. Jika Rx negatif, tambahkan 180°. Jika hanya Ry yang negatif, tambahkan 360°.

Tes mandiri Berapa komponen y vektor satuan searah a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Jawaban: 0,6. Bagi dengan besar 5: 3/5 = 0,6. 3 lupa membagi, 0,12 membagi dengan |a|² = 25, dan 0,43 membagi dengan jumlah komponen (7).

3Hasil kali titik dan hasil kali silang

Ada dua cara mengalikan dua vektor. Hasil kali titik menghasilkan bilangan. Hasil kali silang menghasilkan vektor baru.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Di sini θ adalah sudut antara kedua vektor. Hasil kali titik mengukur seberapa banyak vektor-vektor itu menunjuk ke arah yang sama. Nilainya nol bila keduanya tegak lurus.

dFθ|F|·cos θ
  • Sudut: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Proyeksi skalar a pada b (bagian a sepanjang b): a·b / |b|.
  • Usaha oleh gaya konstan sepanjang suatu perpindahan: W = F·d.
  • Dua vektor tegak lurus bila a·b = 0.

Hasil kali silang a × b adalah vektor yang tegak lurus terhadap a dan b. Panjangnya sama dengan luas jajaran genjang yang direntang kedua vektor.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Untuk a = (1, 2, 0) dan b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Jajaran genjang itu berluas 5 dan segitiganya setengahnya, 2,5.

Urutan penting: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M = r × F, dengan r = A − O.

Tes mandiri Untuk a = (2, 1, 0) dan b = (1, 4, 0), berapa komponen z dari a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Jawaban: 7. Komponen z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 adalah b × a (urutan ditukar), 6 adalah hasil kali titik, dan 9 menjumlahkan kedua hasil kali alih-alih mengurangkan.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen. Untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, pakai F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Jika soal memberi titik, bentuk vektor dari titik-titik itu: vektor dari A ke B adalah B − A.
  3. Putuskan alat yang Anda perlukan. Panjang dan arah: besar dan vektor satuan. Sudut, proyeksi, dan usaha: hasil kali titik. Luas, vektor tegak lurus, dan momen: hasil kali silang.
  4. Tulis rumusnya dulu, lalu masukkan angka satu komponen pada satu waktu. Simpan tanda dalam tanda kurung.
  5. Periksa hasilnya: vektor satuan memiliki panjang 1, a × b tegak lurus terhadap a (jadi a·(a × b) = 0), dan sudut antara vektor terletak antara 0° dan 180°.

Untuk vektor satuan yang tegak lurus terhadap dua vektor, ambil n = a × b dan bagi dengan panjangnya. Jika soal menginginkan komponen z positif dan milik Anda negatif, balik semua tandanya.

Volume kotak (paralelepipedum) dengan rusuk a, b, dan c adalah |a·(b × c)|: hasil kali silang dulu, lalu hasil kali titik.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Gaya konstan F = (6, 2, −3) N mendorong sebuah benda lurus dari titik A(1, 0, 2) ke titik B(3, 4, 2). Koordinat dalam meter. Cari usaha W oleh gaya dan sudut θ antara gaya dan perpindahan.

1

Bentuk perpindahan

Perpindahan adalah vektor dari A ke B: kurangkan awal dari akhir.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Usaha dengan hasil kali titik

Usaha adalah hasil kali titik gaya dan perpindahan. Kalikan komponen yang bersesuaian dan jumlahkan.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Kedua besar

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Sudutnya

dFθ|F|·cos θ

Pakai bentuk lain hasil kali titik, F·d = |F|·|d|·cos θ, dan selesaikan untuk cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Periksa jawabannya

Usahanya positif, jadi sudutnya harus kurang dari 90°. Memang demikian.

Bagian gaya searah gerak adalah |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Dikali jarak 4,472 m, hasilnya 20 J lagi.

Jawaban

W = 20 J dan θ ≈ 50,3°.

6Kesalahan umum

  • Menjumlahkan besar, bukan komponen. Dua gaya 3 N dan 4 N yang saling tegak lurus menghasilkan 5 N, bukan 7 N.
  • Memakai koordinat titik, bukan r = A − O, pada momen.
  • Salah tanda pada komponen tengah (y) hasil kali silang. Yang benar azbx − axbz, bukan sebaliknya.
  • Menukar urutan pada hasil kali silang. b × a menunjuk ke arah berlawanan dengan a × b.
  • Memakai arctan untuk arah tanpa memeriksa vektor berada di kuadran mana.
  • Lupa ½ untuk luas segitiga: luasnya setengah dari |AB × AC|.
Tes mandiri Gaya F = (0, 10, 0) N bekerja di titik A(3, 0, 0) m. Berapa besar momennya terhadap O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Jawaban: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, jadi M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Memakai titik A sendiri sebagai r memberi 30 N·m, A + O memberi 40 N·m, dan O saja memberi 10 N·m.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: besar dan komponen. Panjang vektor, satu komponen vektor satuan, komponen gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, atau besar atau arah resultan dua gaya.
  • Sedang: hasil kali titik. Hasil kali titik, sudut antara dua vektor, proyeksi skalar, usaha oleh gaya di antara dua titik, atau nilai k yang membuat dua vektor tegak lurus.
  • Sulit: hasil kali silang dan momen. Satu komponen a × b, luas jajaran genjang atau segitiga, momen gaya terhadap suatu titik, vektor normal satuan, atau volume kotak dari hasil kali tripel.

Untuk soal ketegaklurusan, set a·b = 0. Itu memberi satu persamaan linear dalam k.

Untuk segitiga dengan titik sudut A, B, dan C, pakai vektor sisi AB = B − A dan AC = C − A. Luasnya ½·|AB × AC|.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xy135°F1​F2​

Dua gaya bekerja di satu titik pada bidang xy: F₁ = 110 N pada 0° dan F₂ = 190 N pada 135°, keduanya diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Tentukan arah φ resultannya, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif (antara 0° dan 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Tentukan φ (°)

Tampilkan petunjuk
  1. Uraikan setiap gaya menjadi komponen x dan y.
  2. Jumlahkan komponen x dan komponen y secara terpisah.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Komponen resultan

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Arah

Rₓ negatif, jadi resultan mengarah ke kuadran kedua atau ketiga: tambahkan 180° pada sudut dari kalkulator.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Jawaban

φ = 100,3°
Contoh 2Sedang
xyzab

Tentukan nilai k agar vektor a = (−4, −4, 0) dan b = (k, 6, 4) saling tegak lurus.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Tentukan k

Tampilkan petunjuk
  1. Vektor yang saling tegak lurus memiliki hasil kali titik nol.
  2. Tulis a·b = 0 dengan k sebagai bilangan tak diketahui lalu selesaikan persamaan liniernya.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−24)/(−4) = −6

Jawaban

k = −6
Contoh 3Sulit
xyzABC

Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3), dan C(1, 4, −4). Koordinat dalam meter.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Tentukan A (m²)

Tampilkan petunjuk
  1. Bentuk dua vektor sisi dari titik sudut yang sama: AB = B − A dan AC = C − A.
  2. Luasnya adalah ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Hasil kali silang

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Luas segitiga

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Jawaban

A = 18,99 m²

Tanya jawab

Apa itu Vektor: hasil kali titik & silang?

Beberapa besaran hanya memerlukan satu bilangan: massa 5 kg atau suhu 20 °C. Ini adalah skalar.

Besaran lain juga memerlukan arah. Gaya 40 N yang mendorong ke atas sangat berbeda dari 40 N yang mendorong ke samping. Ini adalah vektor.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Vektor: hasil kali titik & silang langkah demi langkah?
  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Vektor: hasil kali titik & silang?
  • Menjumlahkan besar, bukan komponen.
  • Salah tanda pada komponen tengah (y) hasil kali silang.
  • Memakai posisi titik, bukan r = A − O, pada momen.
  • Mengambil arctan tanpa memeriksa kuadran.
Apa saja yang dilatih dalam soal Vektor: hasil kali titik & silang?
  • Mudah: besar dan komponen
  • Sedang: hasil kali titik
  • Sulit: hasil kali silang dan momen

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Mata kuliah dengan topik ini

StatikaMatematika TeknikMatematika Teknik 2

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Vektor: hasil kali titik & silang dengan jawaban
Berlatih Vektor: hasil kali titik & silang secara gratisBerlatih Vektor: hasil kali titik & silang sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.