Bilangan kompleks: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Bilangan kompleks gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: aritmetika dalam bentuk kartesius, bentuk kutub dan eksponensial, De Moivre, akar, dan persamaan.
Soal latihan gratisMudah
Untuk z₁ = 1 + j4 dan z₂ = 5 + j6, carilah bagian imajiner dari w = 2z₁ + 5z̄₂.
Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Kesalahan umum
Memperlakukan j² sebagai +1 saat mengalikan.
Membagi bagian real dan imajiner secara terpisah.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen untuk titik di setengah bidang kiri.
Mencampur derajat dan radian, terutama dalam ejθ.
Hanya memberi satu akar dari zⁿ = w, atau lupa mengambil akar ke-n dari modulus.
Rumus utama
Bentuk kartesius
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Persamaan x² = −1 tidak memiliki penyelesaian real. Para insinyur menambahkan bilangan baru j dengan j² = −1. Matematikawan menulis i; teknik memakai j karena i sudah berarti arus.
Bilangan kompleks berbentuk z = a + jb. Bilangan a adalah bagian real dan b adalah bagian imajiner: Re(z) = a dan Im(z) = b.
Anda dapat menggambar z sebagai titik (a, b) pada diagram Argand: bagian real sepanjang sumbu mendatar, bagian imajiner sepanjang sumbu tegak.
Jarak dari titik asal adalah modulus |z| = √(a² + b²). Sudut dari sumbu real positif adalah argumen θ. Bayangan cermin terhadap sumbu real, z̄ = a − jb, adalah konjugat.
Tes mandiri Berapa modulus z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Jawaban: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Menjumlahkan 3 dan 4 memberi 7, dan lupa akar kuadrat memberi 25.
2Menjumlahkan, mengalikan, dan membagi
Jumlahkan dan kurangkan bagian demi bagian: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Jawaban: 2. Itu adalah bilangan dikali konjugatnya: 1² + 1² = 2. Menulis 1 − j² sebagai 1 − 1 = 0 melupakan bahwa j² = −1, sehingga −j² = +1.
3Bentuk kutub dan eksponensial
Sebuah titik juga dapat diberikan lewat jarak dan sudutnya: z = r∠θ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius dengan a = r cos θ dan b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Bentuk terakhir memakai rumus Euler ejθ = cos θ + j sin θ. Pada bentuk eksponensial θ harus dalam radian.
Perhatikan kuadran. Kalkulator memberi atan(b/a) di antara −90° dan 90°. Jika a < 0 titik berada di sebelah kiri, jadi tambahkan atau kurangkan 180°.
Contoh: z = −2 + j2. Maka r = √8 = 2,828. Sudut acuannya atan(2/2) = 45°, dan titik berada di kuadran kedua, jadi θ = 180° − 45° = 135°.
Tes mandiri Berapa argumen z = −1 − j, di antara −180° dan 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Jawaban: −135°. Titik berada di kuadran ketiga. Sudut acuannya 45°, jadi θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° menunjuk ke kuadran yang berlawanan.
4Perkalian dalam bentuk kutub, pangkat, dan akar
Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen. Untuk pembagian, bagi modulus dan kurangkan argumen.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Mengulang ini menghasilkan teorema De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar. Semuanya bermodulus R1/n dengan argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1.
Untuk z³ = 8 = 8∠0°: modulusnya 2 dan argumennya 0°, 120°, dan 240° (yaitu −120°). Akar-akarnya membentuk segitiga sama sisi pada lingkaran.
Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks −p/2 ± j√(q − p²/4). Polinom real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat.
5Contoh soal lengkap
Pangkat bilangan seperti 1 + j jauh lebih cepat dalam bentuk kutub daripada dengan mengalikan satu per satu.
Contoh soal
Hitung (1 + j)6 dengan teorema De Moivre.
1
Tulis 1 + j dalam bentuk kutub
r = √(1² + 1²) = √2. Titik berada di kuadran pertama, jadi θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Terapkan De Moivre
Pangkatkan modulus dengan 6 dan kalikan sudut dengan 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Bawa sudut ke dalam rentang
270° sama arahnya dengan −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Kembali ke bentuk kartesius
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Jawaban
(1 + j)6 = −j8: bagian real 0, bagian imajiner −8.
6Kesalahan umum dan soal ujian
Lupa bahwa j² = −1 saat mengalikan, sehingga sebuah suku bertanda salah.
Membagi bagian demi bagian: (a + jb)/(c + jd) bukan a/c + jb/d. Pakai konjugat.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen ketika a < 0. Gambar titiknya dulu.
Memakai derajat pada ejθ, atau membiarkan kalkulator dalam mode radian untuk r∠θ yang diberikan dalam derajat.
Pada De Moivre: lupa memangkatkan modulus, atau hanya memberi satu akar dari zⁿ = w.
Soal mudah menanyakan satu bagian dari hasil kali, hasil bagi, atau jumlah. Soal sedang mengubah antara bentuk kartesius, kutub, dan eksponensial. Soal sulit memakai De Moivre, akar ke-n, dan persamaan polinomial.
Jawaban: 8∠80°. Kalikan modulus (2·4 = 8) dan jumlahkan argumen (30° + 50° = 80°). Menjumlahkan modulus memberi 6, dan mengalikan sudut tidak masuk akal.
Untuk z₁ = −7 + j dan z₂ = 4 + j2, carilah bagian real dari hasil kali z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Tentukan Re(z₁z₂)
Tampilkan petunjuk
Kalikan tanda kurung seperti (a + b)(c + d), menghasilkan empat suku.
Ganti j² dengan −1 sehingga salah satu dari empat suku menjadi real.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Bilangan kompleks: z = a + jb memiliki bagian real a dan bagian imajiner b, dengan j² = −1 (matematikawan menulis i). Jumlahkan dan kurangkan bagian demi bagian; kalikan tanda kurung lalu ganti j² dengan −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut, z̄ = a − jb, karena z·z̄ = a² + b² bernilai real. Pada diagram Argand z adalah titik (a, b): jaraknya dari titik asal adalah modulus |z| = √(a² + b²), dan sudut dari sumbu real positif adalah argumen θ.
Tuliskan z = 4∠160° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian imajiner b.
r = 4θ = 160°
Tentukan b
Tampilkan petunjuk
a = r·cos θ dan b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Kalikan dengan r = 4.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.
Komponen
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Bentuk kartesius
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Jawaban
b = 1,368
Contoh 3Sulit
Akar-akar zⁿ = w dengan n = 4 dan w = 16∠−60° adalah zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Carilah bagian real dari z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Tentukan Re(z₂)
Tampilkan petunjuk
Setiap akar memiliki modulus R1/n = 161/4 = 2.
Argumen z₂ adalah (φ + 360°·k)/n dengan φ = −60°, k = 2, dan n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.
Modulus akar-akar
161/4 = 2
Argumen akar
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Bentuk kartesius
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Jawaban
Re(z₂) = −1,932
4 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 2, dengan jarak sudut 90°.
Tanya jawab
Apa itu Bilangan kompleks?
Persamaan x² = −1 tidak memiliki penyelesaian real. Para insinyur menambahkan bilangan baru j dengan j² = −1. Matematikawan menulis i; teknik memakai j karena i sudah berarti arus.
Anda dapat menggambar z sebagai titik (a, b) pada diagram Argand: bagian real sepanjang sumbu mendatar, bagian imajiner sepanjang sumbu tegak.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Bilangan kompleks langkah demi langkah?
Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Bilangan kompleks?
Memperlakukan j² sebagai +1 saat mengalikan.
Membagi bagian real dan imajiner secara terpisah.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen untuk titik di setengah bidang kiri.
Mencampur derajat dan radian, terutama dalam ejθ.
Hanya memberi satu akar dari zⁿ = w, atau lupa mengambil akar ke-n dari modulus.
Apa saja yang dilatih dalam soal Bilangan kompleks?
Mudah: aritmetika dalam bentuk kartesius
Sedang: bentuk kutub dan eksponensial
Sulit: De Moivre, akar, dan persamaan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.