Distribusi normal: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Distribusi normal gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: luas pada satu ekor, luas di antara dua nilai, persentil.

Soal latihan gratisMudah
μ = 6567,5P = ?

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di atas 67,5 poin? Tentukan P(X > x) dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Soal berikutnya →
Berlatih Distribusi normal secara gratisBerlatih Distribusi normal sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahluas pada satu ekor
  2. Sedangluas di antara dua nilai
  3. Sulitpersentil

Cara menyelesaikan soal Distribusi normal

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Kesalahan umum

  • Membaca tabel untuk ekor yang salah.
  • Lupa membagi dengan σ.
  • Memakai tanda z secara terbalik untuk persentil di bawah 50%.

Rumus utama

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Pelajari Distribusi normal dari nol

Sebelum ini: Statistika deskriptif

1Kurva lonceng

Banyak besaran, seperti tinggi badan, skor IQ, atau berat kemasan dari suatu mesin, mengikuti distribusi normal. Sebagian besar nilai berada di dekat tengah, dan nilai yang jauh jarang terjadi.

Grafiknya berupa lonceng simetris. Grafik ini memiliki dua angka: rata-rata μ, tempat puncaknya berada, dan simpangan baku σ, yang menentukan lebarnya.

7085100μ115130

Gagasan kuncinya: peluang adalah luas di bawah kurva. Luas totalnya 1. Setengah kiri yang diarsir memiliki luas 0,5, jadi separuh dari semua nilai berada di bawah rata-rata.

Sekitar 68% nilai berada dalam satu σ dari rata-rata, dan sekitar 95% dalam dua σ.

Tes mandiri Kemasan memiliki berat berdistribusi normal dengan rata-rata 500 g. Berapa proporsi kemasan yang beratnya kurang dari 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Bergantung pada σ

Jawaban: 0,5. Kurva simetris di sekitar rata-rata, jadi tepat setengah luas berada di bawah μ, berapa pun σ. 0,68 adalah luas dalam satu σ di kedua sisi.

2Skor-z dan tabel

Setiap distribusi normal menjadi kurva yang sama, yaitu normal baku (rata-rata 0, σ = 1), ketika Anda mengubah nilai x menjadi skor-z:

z = (x − μ) / σ

Tabel memberikan Φ(z): luas di sebelah kiri z. Misalnya Φ(1,2) = 0,8849, jadi 88,49% nilai berada di bawah z = 1,2.

  • Di bawah x: P(X < x) = Φ(z).
  • Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z), karena luas totalnya 1.
  • Untuk z negatif: Φ(−z) = 1 − Φ(z), menurut simetri. Jadi Φ(−1,2) = 0,1151.

Nilai yang sering Anda temui: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Tes mandiri Φ(1,2) = 0,8849. Berapa P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Jawaban: 0,1151. Tabel memberikan luas di sebelah kiri. Luas di sebelah kanan adalah 1 − 0,8849 = 0,1151. Memakai 0,8849 secara langsung membaca ekor yang salah.

3Di antara dua nilai dan persentil

Untuk luas di antara dua nilai, kurangkan kedua luas kiri: semua yang di bawah nilai atas, dikurangi semua yang di bawah nilai bawah.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Persentil bekerja mundur. Persentil ke-90 adalah nilai dengan 90% luas di sebelah kirinya.

  • Cari z dengan Φ(z) sama dengan luasnya. Untuk 90%, z = 1,2816. Untuk 80%, z = 0,8416.
  • Ubah kembali ke x: x = μ + z · σ.

Untuk persentil di bawah 50%, z negatif. Persentil ke-10 memiliki z = −1,2816.

Tes mandiri Skor IQ berdistribusi normal dengan μ = 100 dan σ = 15. Nilai z untuk persentil ke-80 adalah 0,8416. Berapa persentil ke-80?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Jawaban: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Memakai tanda minus menghasilkan 87,4, persentil ke-20; 100,8 lupa mengalikan dengan σ.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Buat sketsa kurva lonceng, tandai μ dan nilainya, dan arsir luas yang ditanyakan.
  2. Ubah setiap nilai menjadi skor-z: z = (x − μ)/σ.
  3. Cari Φ(z), yaitu luas di sebelah kiri.
  4. Di bawah: Φ(z). Di atas: 1 − Φ(z). Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Untuk persentil, kerjakan mundur: luas → z → x = μ + zσ.
  6. Bandingkan dengan sketsa Anda: luas yang diarsir kurang dari setengah harus menghasilkan angka di bawah 0,5.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P yang berada di antara 91 dan 121?

1

Sketsa luasnya

91x₁100121x₂

Luas yang diarsir mencakup bagian tengah dan lebih banyak sisi kanan. Harapkan angka sedikit di atas 0,5.

2

Skor-z bawah

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Skor-z atas

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Cari kedua luas

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Kurangkan

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Ini sedikit di atas 0,5, seperti yang diprediksi sketsa.

Jawaban

P ≈ 0,645: sekitar 64,5% skor berada di antara 91 dan 121.

6Kesalahan umum

  • Membaca ekor yang salah: memakai Φ(z) ketika soal menanyakan luas di atas x.
  • Lupa membagi dengan σ pada skor-z.
  • Menjumlahkan kedua luas kiri untuk suatu selang, bukan mengurangkannya.
  • Memakai tanda z yang salah untuk persentil di bawah 50%.
  • Mencampuradukkan σ dan varians σ². Bagi dengan σ, simpangan baku.
Tes mandiri Nilai ujian berdistribusi normal dengan μ = 65 dan σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Berapa proporsi yang mendapat nilai di atas 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Jawaban: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, dan P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 adalah luas di bawah 50: ekor yang salah. Sebagian besar siswa mendapat nilai di atas 50, jadi jawabannya harus besar.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: luas pada satu ekor. Cari P(X < x) atau P(X > x) dengan satu skor-z.
  • Sedang: luas di antara dua nilai, Φ(z₂) − Φ(z₁), seperti pada contoh.
  • Sulit: persentil. Cari nilai yang di bawahnya terdapat 80% atau 90% data.

Selalu buat sketsa terlebih dahulu. Sketsa sepuluh detik menangkap sebagian besar kesalahan ekor.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
μ = 3236,8P = ?

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di atas 36,8 min? Tentukan P(X > x) dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Tentukan P(X > x)

Tampilkan petunjuk
  1. Ubah ke skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Peluang

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

Itu sama dengan 21,19%.

Contoh 2Sedang
750 g769,7 gX + Y?

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 769,7 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Tentukan P

Tampilkan petunjuk
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Ekor atas

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275
Contoh 3Sulit
μ = 178x = ?20%

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 178σ = 7P = 20%

Tentukan x (cm)

Tampilkan petunjuk
  1. Bekerjalah mundur: cari z dengan Φ(z) = P/100 di tabel.
  2. z = −0,8416.
  3. Lalu x = μ + z·σ.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Jawaban

x = 172,11 cm

Tanya jawab

Apa itu Distribusi normal?

Banyak besaran, seperti tinggi badan, skor IQ, atau berat kemasan dari suatu mesin, mengikuti distribusi normal. Sebagian besar nilai berada di dekat tengah, dan nilai yang jauh jarang terjadi.

Grafiknya berupa lonceng simetris. Grafik ini memiliki dua angka: rata-rata μ, tempat puncaknya berada, dan simpangan baku σ, yang menentukan lebarnya.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Distribusi normal langkah demi langkah?
  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Distribusi normal?
  • Membaca tabel untuk ekor yang salah.
  • Lupa membagi dengan σ.
  • Memakai tanda z secara terbalik untuk persentil di bawah 50%.
Apa saja yang dilatih dalam soal Distribusi normal?
  • Mudah: luas pada satu ekor
  • Sedang: luas di antara dua nilai
  • Sulit: persentil

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Statistika deskriptif

Lanjutkan dengan

Selang kepercayaan

Kalkulator

Kalkulator skor z dan peluang normalKalkulator distribusi normal

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika DasarMatematika TeknikStatistika 2: Inferensi StatistikLatihan ujian FE CivilSoal latihan AP StatisticsLatihan metode kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Distribusi normal dengan jawaban
Berlatih Distribusi normal secara gratisBerlatih Distribusi normal sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.