Optimasi: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Optimasi gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: luas atau volume maksimum, biaya atau bahan minimum, laba dan pendapatan.

Soal latihan gratisMudah
sungaixxy

Seorang petani memiliki pagar sepanjang 240 m untuk memagari ladang persegi panjang di sepanjang sungai yang lurus. Tidak diperlukan pagar di sepanjang sungai. Cari luas terbesar A yang dapat dipagari.

240 m2x + y = 240
m²
Soal berikutnya →
Berlatih Optimasi secara gratisBerlatih Optimasi sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahluas atau volume maksimum
  2. Sedangbiaya atau bahan minimum
  3. Sulitlaba dan pendapatan

Rumus utama

Metode
tulis Q(x) dengan satu variabel, selesaikan Q′(x) = 0, periksa Q″ atau titik ujungnya
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Laba
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Pelajari Optimasi dari nol

Sebelum ini: Turunan

1Apa itu optimasi

Optimasi berarti mencari nilai yang terbaik: luas terbesar untuk panjang pagar tertentu, logam paling sedikit untuk sebuah kaleng, atau laba tertinggi.

Besaran yang ingin Anda buat sebesar atau sekecil mungkin bergantung pada satu variabel, misalnya lebar x sebuah lahan.

Bayangkan grafiknya. Di puncak bukit dan di dasar lembah, grafiknya mendatar sesaat. Jadi kemiringan di sana nol.

Itulah gagasan kuncinya: pada maksimum atau minimum, turunannya 0. Anda menemukan x terbaik dengan menyelesaikan Q′(x) = 0.

Tes mandiri Luas A(x) sebuah lahan bernilai terbesar pada x = 12. Berapa A′(12)?
  1. 0
  2. Bilangan negatif
  3. Bilangan positif
  4. Sama dengan A(12)

Jawaban: 0. Di puncak grafik garis singgungnya mendatar, jadi kemiringannya 0. Kemiringan positif berarti luas masih bertambah.

2Tujuan dan kendala

Setiap soal optimasi memiliki dua bagian. Sebutkan keduanya sebelum menghitung apa pun.

  • Tujuan: besaran yang dimaksimumkan atau diminimumkan, seperti luas A atau biaya C.
  • Kendala: syarat tetap, seperti panjang total pagar atau volume yang harus ditampung sebuah kaleng.

Tujuan biasanya memiliki dua variabel, misalnya A = x · y. Anda belum dapat menurunkannya.

Gunakan kendala untuk menulis y dalam x. Maka tujuan hanya bergantung pada x.

Contoh: persegi panjang berkeliling 20 m memiliki 2x + 2y = 20, jadi y = 10 − x dan A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Gambar sketsa dulu dan tulis setiap panjang di atasnya. Kebanyakan kesalahan terjadi pada kendala.

Tes mandiri Sebuah lahan di tepi sungai dipagari di tiga sisi dengan 40 m: dua sisi sepanjang x dan satu sisi y sejajar sungai. Apa kendalanya?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

Jawaban: 2x + y = 40. Ada tiga pagar: x, x, dan y. Sisi sungai tidak memerlukan pagar. 2x + 2y akan menjadi persegi panjang penuh dengan empat sisi berpagar.

3Soal biaya dan laba

Dalam soal bisnis, tujuannya adalah laba: pendapatan dikurangi biaya.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

Di sini q adalah jumlah unit terjual dan p harga per unit. Jika harga bergantung pada q, masukkan rumus itu ke R terlebih dahulu.

Contoh: harga p = 60 − q dan biaya C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

Harga terbaik lalu p = 60 − 15 = €45. Baca soal dengan cermat: ia mungkin menanyakan q, p, atau laba P itu sendiri.

Tes mandiri Sebuah produk dijual €40 per unit. Biaya q unit adalah C = 100 + 10q + 0,5q² euro. Output q berapa yang memberi laba tertinggi?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

Jawaban: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², jadi P′ = 30 − q = 0 dan q = 30. Lupa 2 ketika menurunkan 0,5q² memberi 60.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Gambar sketsa dan beri nama variabelnya.
  2. Tulis tujuan Q (luas, biaya, laba) dan kendalanya.
  3. Gunakan kendala untuk menulis Q sebagai fungsi satu variabel, Q(x).
  4. Turunkan dan selesaikan Q′(x) = 0.
  5. Periksa bahwa itu jenis titik yang benar: Q″ < 0 untuk maksimum, Q″ > 0 untuk minimum.
  6. Jawab pertanyaan yang diajukan: x, sisi lainnya, atau nilai terbaik Q itu sendiri, dengan satuan.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Seorang petani memiliki pagar sepanjang 60 m untuk lahan persegi panjang di tepi sungai lurus. Tidak diperlukan pagar di sepanjang sungai. Tentukan sisi y sejajar sungai dan luas terbesar A.

1

Sketsa dan kendala

xxyA

Sungai ada di atas, jadi hanya tiga sisi yang perlu dipagari: dua sisi x dan satu sisi y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

Luas dalam satu variabel

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

Samakan turunan dengan nol

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

Apakah ini maksimum?

A″(x) = −4 < 0

Turunan kedua negatif, jadi x = 15 m memberi luas terbesar.

xA(15, 450)1530
5

Sisi lainnya dan luas

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

Periksa jawabannya

Coba nilai di setiap sisi. x = 14 memberi 14 · 32 = 448 m², dan x = 16 memberi 16 · 28 = 448 m². Keduanya lebih kecil daripada 450 m².

Jawaban

y = 30 m dan luas terbesar adalah A = 450 m².

6Kesalahan umum

  • Memberi jawaban untuk besaran yang salah: soal meminta y, dan Anda memberi x.
  • Menurunkan tujuan yang masih memiliki dua variabel. Gunakan kendala dulu.
  • Menulis kendala yang salah, misalnya memagari juga sisi sungai.
  • Tidak memeriksa apakah titik itu maksimum atau minimum.
  • Lupa satuan, atau memberi luas dalam m, bukan m².
Tes mandiri Dengan pagar 40 m di tepi sungai (2x + y = 40), lebar terbaik adalah x = 10 m. Soal menanyakan sisi y sejajar sungai. Apa jawaban Anda?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

Jawaban: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Menjawab 10 m memberi x, bukan y, dan 200 m² adalah luas, bukan sisi.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: luas atau volume maksimum, seperti lahan di tepi sungai atau kandang yang dibagi pagar tambahan.
  • Sedang: biaya atau bahan minimum, seperti kaleng tertutup (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) atau pagar dengan dua harga per meter.
  • Sulit: laba dan pendapatan. Susun P = R − C, selesaikan P′(q) = 0, lalu cari harga atau laba maksimum.

Pemeriksaan cepat: masukkan nilai sedikit di atas dan sedikit di bawah jawaban Anda ke Q. Keduanya harus lebih buruk.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
x18 cm18 cmx

Sebuah kotak terbuka dibuat dari selembar karton persegi 18 cm × 18 cm dengan memotong persegi-persegi sama besar bersisi x dari keempat sudutnya lalu melipat sisi-sisinya ke atas. Cari volume terbesar yang mungkin V.

18 cm × 18 cm

Tentukan V (cm³)

Tampilkan petunjuk
  1. Alasnya berukuran (18 − 2x) kali (18 − 2x) dan tingginya x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Hanya akar dengan 0 < x < 9 yang masuk akal.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Volume sebagai fungsi x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

Samakan turunan dengan nol

Akar yang lebih besar menghasilkan sisi alas ≤ 0, sehingga berada di luar rentang yang diperbolehkan.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 atau x = 9
x = 3 cm

Volume

V = 3·12·12 = 432 cm³

Jawaban

V = 432 cm³
Contoh 2Sedang
rh

Sebuah kaleng silinder tertutup (dengan tutup dan alas) harus memuat 400 cm³. Logam yang dipakai sebanding dengan luas permukaan total. Cari luas permukaan terkecil yang mungkin A.

V = 400 cm³

Tentukan A (cm²)

Tampilkan petunjuk
  1. Gunakan volume untuk mengeliminasi h: πr²h = 400, sehingga h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Samakan turunan dengan nol

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, sehingga ini minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Tinggi dan luas

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Jawaban

A = 300,5 cm²

Kaleng tertutup yang paling hemat memiliki tinggi sama dengan lebarnya: h = 2r.

Contoh 3Sulit
p (€)R(p)10sekarang

Sebuah teater menjual 580 tiket per pertunjukan seharga €10 per tiket. Riset pasar menunjukkan bahwa setiap kenaikan harga tiket €1 berarti 20 tiket lebih sedikit yang terjual (dan setiap penurunan €1, 20 lebih banyak). Cari pendapatan maksimum R per pertunjukan.

580 × €1020 / €1

Tentukan R (€)

Tampilkan petunjuk
  1. Tiket yang terjual pada harga p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Pendapatan sebagai fungsi harga

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

Samakan turunan dengan nol

R″(p) = −40 < 0, sehingga ini maksimum.

p = 780/40 = €19,5

Pendapatan maksimum

n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605

Jawaban

R = €7605

Tanya jawab

Apa itu Optimasi?

Optimasi berarti mencari nilai yang terbaik: luas terbesar untuk panjang pagar tertentu, logam paling sedikit untuk sebuah kaleng, atau laba tertinggi.

Besaran yang ingin Anda buat sebesar atau sekecil mungkin bergantung pada satu variabel, misalnya lebar x sebuah lahan.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Optimasi langkah demi langkah?

Optimasi: tulis besaran yang akan dioptimalkan sebagai fungsi satu variabel, dengan memakai kendala untuk mengeliminasi variabel lainnya. Samakan turunannya dengan nol dan selesaikan. Periksa bahwa titik kritisnya merupakan maksimum atau minimum (turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama) dan berada di dalam rentang yang diperbolehkan; titik ujung seperti panjang sisi nol bukanlah jawabannya.

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Optimasi?
  • Setiap sisi alas kehilangan satu persegi di kedua ujungnya, sehingga sisi alasnya a − 2x dan b − 2x, bukan a − x dan b − x.
  • Kalengnya tertutup: hitung tutup dan alasnya, A = 2πr² + 2πrh.
  • Itu pendapatan pada harga saat ini. Cari dulu harga saat R′(p) = 0.
Apa saja yang dilatih dalam soal Optimasi?
  • Mudah: luas atau volume maksimum
  • Sedang: biaya atau bahan minimum
  • Sulit: laba dan pendapatan

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Turunan

Mata kuliah dengan topik ini

Kalkulus 1Soal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Optimasi dengan jawaban
Berlatih Optimasi secara gratisBerlatih Optimasi sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.