Himpunan, relasi & fungsi: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

1Himpunan dan operasi himpunan

Himpunan adalah kumpulan elemen yang berbeda: A = {1, 2, 3}. Urutan dan pengulangan tidak berpengaruh. |A| adalah banyaknya elemen, dan U adalah himpunan semesta yang memuat semua yang dibahas.

• A ∪ B (gabungan): elemen yang ada di A atau B atau keduanya.
• A ∩ B (irisan): elemen yang ada di keduanya.
• A − B (selisih): elemen A yang tidak ada di B.
• A′ (komplemen): elemen U yang tidak ada di A.

Dalam diagram Venn dua lingkaran membagi U menjadi empat daerah: hanya A, keduanya, hanya B, dan bukan keduanya. Setiap ekspresi himpunan adalah gabungan beberapa daerah ini, sehingga selalu dapat dihitung daerah demi daerah.

Di sini |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 dan |(A ∪ B)′| = 15.

2Menghitung dengan inklusi–eksklusi

Menjumlahkan |A| dan |B| menghitung irisannya dua kali, jadi kurangkan satu kali:

Untuk tiga himpunan, irisan tiap pasangan dikurangkan, tetapi bagian tengah kemudian terhapus tiga kali, jadi ditambahkan kembali:

Pada soal cerita biasanya lebih aman mengisi diagram Venn dari tengah ke luar: pertama elemen di ketiga himpunan, lalu tiap pasangan dikurangi bagian tengah, lalu tiap himpunan tunggal dikurangi yang sudah ditempatkan.

Dua perhitungan lain sering muncul: himpunan dengan n elemen memiliki 2ⁿ himpunan bagian (himpunan kuasanya 𝒫(A)), dan |A × B| = |A|·|B| pasangan terurut.

3Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

4Relasi

Sebuah relasi R pada himpunan X adalah himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x dan y di X. Jika digambar sebagai graf berarah, setiap pasangan adalah anak panah dan (x, x) adalah gelang.

• Refleksif: (x, x) ∈ R untuk setiap x: ada gelang di setiap simpul.
• Simetris: (x, y) ∈ R selalu disertai (y, x) ∈ R.
• Antisimetris: (x, y) dan (y, x) keduanya di R hanya jika x = y.
• Transitif: (x, y) dan (y, z) di R mengharuskan (x, z) ∈ R.

Relasi yang refleksif, simetris, dan transitif adalah relasi ekuivalensi. Relasi ini membagi X menjadi kelas-kelas yang saling lepas, seperti sisa 0, 1, dan 2 untuk “x ≡ y (mod 3)”. Kelas dengan s elemen menyumbang s² pasangan terurut.

Untuk menyangkal suatu sifat, satu contoh penyangkal sudah cukup; untuk membuktikannya, periksa setiap pasangan.

5Fungsi

Sebuah fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B.

• Injektif (satu-satu): elemen berbeda punya bayangan berbeda; tidak ada elemen B yang menerima dua anak panah.
• Surjektif (pada): setiap elemen B menerima paling sedikit satu anak panah.
• Bijektif: keduanya. Hanya dengan begitu f memiliki invers f⁻¹.

Fungsi pada gambar injektif tetapi tidak surjektif: d tidak menerima anak panah. Injeksi memerlukan |A| ≤ |B| dan surjeksi |A| ≥ |B|.

Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi dan n!/(n − m)! fungsi injektif. Komposisi (g ∘ f)(x) = g(f(x)) menerapkan f lebih dulu.

6Kesalahan umum

• Menjumlahkan |A| + |B| tanpa mengurangi irisannya.
• Lupa menambahkan kembali bagian tengah pada inklusi–eksklusi tiga himpunan.
• Menulis mⁿ dan bukan nᵐ untuk banyaknya fungsi dari m elemen ke n elemen.
• Mengira relasi tidak bisa sekaligus simetris dan antisimetris: relasi {(1, 1)} keduanya.
• Menerapkan g ∘ f dengan urutan yang salah: f bekerja lebih dulu.

7Seperti apa soal ujiannya

• Mudah: diagram Venn dan himpunan bagian. Anda menghitung ekspresi himpunan dari diagram Venn, mengeklik daerah suatu ekspresi, atau mencari ukuran himpunan kuasa, hasil kali Kartesius, atau keluarga himpunan bagian.
• Sedang: inklusi–eksklusi dan relasi. Anda menyelesaikan soal pencacahan dua dan tiga himpunan, menghitung ekspresi dari total daerah, menentukan sifat apa yang dimiliki suatu relasi, atau menghitung pasangan yang diperlukan untuk suatu tutupan.
• Sulit: fungsi dan pencacahan. Anda mengklasifikasikan fungsi sebagai injektif, surjektif, atau bijektif, menghitung fungsi, injeksi, dan surjeksi, mengevaluasi komposisi dan invers, serta menghitung pasangan dalam relasi ekuivalensi.