Matematika Diskrit: latihan soal dan soal ujian

Matematika untuk ilmu komputer dan setiap pembuktian: logika proposisional dan kuantor, himpunan, relasi dan fungsi, graf dengan lintasan terpendek dan pohon rentang, serta teori bilangan hingga RSA. Soal ujian menuntut jawaban eksak, sehingga tabel atau diagram yang teliti lebih penting daripada kalkulator.

Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Paket kilat (PDF)Lembar rumus, langkah-langkah metode, dan soal latihan dengan pembahasan lengkap, siap dicetak.

Topik dalam mata kuliah ini

  1. Logika proposisional & pembuktiantabel kebenaran · ekuivalensi dan metode pembuktian · kuantor dan argumenhitungan
  2. Himpunan, relasi & fungsidiagram Venn dan himpunan bagian · inklusi–eksklusi dan relasi · fungsi dan pencacahanhitungan
  3. Teori grafderajat dan sisi · lintasan Euler dan pohon · lintasan terpendek dan pohon rentanghitungan
  4. Teori bilangan & aritmetika modularFPB dan sisa · invers dan kongruensi · pangkat modular dan RSAhitungan

Tips ujian untuk Matematika Diskrit

  • Tuliskan tabel kebenaran atau diagram Venn: sebagian besar kesalahan berasal dari baris atau daerah yang terlewat.
  • Untuk menyangkal suatu pernyataan, satu contoh penyangkal sudah cukup; untuk membuktikannya, periksa setiap kasus atau berikan argumen umum.
  • Dalam aritmetika modular, reduksi sisa setelah setiap langkah dan pertahankan sisa di antara 0 dan n − 1.

Contoh dengan pembahasan

Logika proposisional & pembuktianMudah
pq¬(p ∨ q) → q11100100

Tepat satu baris tabel kebenaran membuat ¬(p ∨ q) → q salah. Klik baris itu.

¬(p ∨ q) → q
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
Tampilkan petunjuk
  1. a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0. ¬a membalik nilainya. a ∨ b bernilai 0 hanya jika keduanya 0.
  2. Tentukan dulu penghubung utamanya: seperti apa kedua sisinya agar seluruh rumus bernilai 0?
  3. Beri setiap bagian kolomnya sendiri: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
Tampilkan jawaban dan penjelasan

Tabel kebenaran: rumus dengan n variabel berbeda memiliki 2ⁿ baris, satu untuk setiap kombinasi nilai kebenaran (1 = benar, 0 = salah). Bekerjalah dari dalam ke luar dan beri setiap subformula kolomnya sendiri. ¬a membalik nilainya; a ∧ b bernilai 1 hanya jika keduanya 1; a ∨ b bernilai 0 hanya jika keduanya 0; a → b bernilai 0 hanya jika a = 1 dan b = 0; a ↔ b bernilai 1 jika kedua sisi sama.

Tabel kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, ¬(p ∨ q) → q = 0

Barisnya

p = 0, q = 0 → ¬(p ∨ q) → q = 0

Jawaban

p = 0, q = 0
Himpunan, relasi & fungsiSedang
UMPC

Dari 53 mahasiswa tahun pertama, 35 lulus Matematika (M), 28 lulus Fisika (P), dan 29 lulus Kimia (C). 20 lulus M dan P, 18 lulus M dan C, 10 lulus P dan C, dan 6 lulus ketiganya. Berapa yang tidak berada di ketiga himpunan?

|U| = 53

Tentukan |(M ∪ P ∪ C)′|

Tampilkan petunjuk
  1. Isi diagram Venn dari tengah ke luar: pertama ketiganya, lalu pasangan, lalu himpunan tunggal.
  2. Hanya M dan P (bukan C): 20 − 6 = 14. Hanya M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. Paling sedikit satu himpunan: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Bagian tengah dan pasangan

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P saja: 20 − 6 = 14
M ∩ C saja: 18 − 6 = 12
P ∩ C saja: 10 − 6 = 4

Himpunan tunggal

M saja: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P saja: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C saja: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

Jawaban

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

Jawaban

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3

Cara kerja latihan

  • “Latih mata kuliah ini” mencampur soal dari semua topiknya, seperti ujian sungguhan.
  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Ujian simulasi memiliki batas waktu dan tanpa petunjuk, dan di akhir Anda mendapat skor serta tinjauan lengkap.

Mata kuliah terkait

Dasar-Dasar Ilmu KomputerStruktur Data dan AlgoritmaKalkulus 1Statistika DasarMatematika TeknikStatistika 2: Inferensi StatistikPersamaan DiferensialMatematika Teknik 2
Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.