Untuk suatu relasi, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan berikan satu contoh penyangkal jika sifat itu gagal.
Untuk suatu fungsi, hitung panah yang tiba di setiap elemen B: paling banyak satu berarti injektif, paling sedikit satu berarti surjektif.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf beraturan
|E| = n·k/2
Pohon dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun pohon
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
sirkuit: semua derajat genap; lintasan: tepat 2 derajat ganjil
Sirkuit Hamilton di Kn
(n − 1)!/2
Pembaruan Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan dengan panjang L
(Mᴸ)ij
Metode
Tuliskan derajat setiap simpul; jumlah derajat sama dengan dua kali banyaknya sisi.
Untuk soal Euler, periksa bahwa graf terhubung dan hitung simpul berderajat ganjil.
Untuk pohon, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, buat tabel jarak sementara dan tetapkan simpul belum tetap dengan jarak terkecil di setiap putaran.
Untuk pohon rentang minimum, urutkan sisi menurut bobot dan lewati setiap sisi yang membentuk siklus (Kruskal), atau tumbuhkan satu pohon dari simpul awal (Prim).
Teori bilangan & aritmetika modular
Pembagian dengan sisa
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Kelipatan persekutuan terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Invers
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruensi linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metode
Reduksi dulu setiap bilangan modulo n; sisa berada di antara 0 dan n − 1.
Untuk FPB, bagi berulang kali dengan algoritma Euclid; sisa taknol terakhir adalah FPB.
Untuk invers, jalankan algoritma yang diperluas dan ambil koefisien a; tambahkan n jika negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mengalikan a⁻¹; gabungkan dua kongruensi dengan menuliskan x = r₁ + m₁k.
Untuk pangkat, tuliskan eksponen dalam biner dan kuadratkan berulang; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soal latihan
1.Logika proposisional & pembuktianSedang
Anda ingin membuktikan ¬r → p dengan kontrapositif. Implikasi mana yang Anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.
¬r → p
1¬r ∧ ¬p
2¬¬r → ¬p
3p → ¬r
4¬p → ¬¬r
2.Logika proposisional & pembuktianSulit
Argumen dengan premis q → p; ¬q dan kesimpulan ¬p tidak valid. Klik baris tabel kebenaran yang merupakan contoh penyangkal.
q → p¬q∴ ¬p
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Himpunan, relasi & fungsiSedang
Dari 34 mahasiswa tahun pertama, 22 lulus Matematika (M), 12 lulus Fisika (P), dan 11 lulus Kimia (C). 10 lulus M dan P, 4 lulus M dan C, 4 lulus P dan C, dan 3 lulus ketiganya. Berapa yang tidak berada di ketiga himpunan?
|U| = 34
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Himpunan, relasi & fungsiSulit
Fungsi f dan g pada {1, 2, 3, 4, 5} diberikan oleh tabelnya. Carilah (g ∘ f)(1).
Apakah graf terhubung ini memiliki sirkuit Euler, lintasan Euler yang bukan sirkuit, atau bukan keduanya? Klik jawaban Anda.
|V| = 6|E| = 8
1Sirkuit Euler
2Lintasan Euler, bukan sirkuit
3bukan keduanya
6.Teori grafSulit
Algoritma Prim membangun pohon rentang minimum mulai dari simpul G. Klik sisi yang ditambahkannya sebagai sisi nomor 5.
awal: Gk = 5
1sisi AB
2sisi AC
3sisi CE
4sisi DE
5sisi DF
6sisi EF
7sisi GB
8sisi GC
9sisi GE
7.Teori bilangan & aritmetika modularSedang
Carilah bilangan bulat positif terkecil x dengan x ≡ 2 (mod 5) dan x ≡ 0 (mod 9).
x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 0 (mod 9)
x =
8.Teori bilangan & aritmetika modularSulit
Enkripsikan pesan m = 441 dengan kunci publik RSA (n, e) = (697, 23). Carilah teks sandi c.
n = 697e = 23m = 441
c =
3Larutan
1.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: ¬p → ¬¬r
Ekuivalensi logis: dua rumus ekuivalen (≡) jika bernilai sama pada setiap baris tabel kebenaran. Tautologi bernilai 1 pada setiap baris, kontradiksi bernilai 0 pada setiap baris, dan kontingensi bukan keduanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum distributif, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Bagian-bagian implikasi
a = ¬r, b = p
Kontrapositif
¬b → ¬a = ¬p → ¬¬r
Jawaban
¬p → ¬¬r
Kontrapositif ekuivalen dengan pernyataan asli, jadi membuktikannya berarti membuktikan pernyataan itu.
2.Logika proposisional & pembuktian
Jawaban: p = 1, q = 0
Kuantor dan argumen: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Pindahkan negasi ke dalam, tukar setiap kuantor yang dilewatinya, dan negasikan rumus di dalamnya dengan hukum proposisional, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Sebuah argumen valid jika kesimpulannya bernilai 1 pada setiap baris yang semua premisnya bernilai 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan salah adalah contoh penyangkal dan menunjukkan bahwa argumen itu tidak valid.
Premis dan kesimpulan baris demi baris
p = 1, q = 1: 1 0 | 0
p = 1, q = 0: 1 1 | 0
p = 0, q = 1: 0 0 | 1
p = 0, q = 0: 1 1 | 1
Contoh penyangkal
p = 1, q = 0
Jawaban
p = 1, q = 0
Argumen dengan bentuk ini tampak seperti aturan yang valid, tetapi satu baris cukup untuk menunjukkan bahwa itu tidak benar.
3.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: |(M ∪ P ∪ C)′| = 4
Himpunan dan diagram Venn: A ∪ B memuat elemen di A atau B (atau keduanya), A ∩ B elemen di keduanya, A − B elemen A yang tidak ada di B, dan komplemen A′ semua yang ada di U tetapi tidak di A. Dalam diagram Venn setiap ekspresi himpunan adalah gabungan daerah-daerah, jadi hitunglah daerah demi daerah. Inklusi–eksklusi: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Bagian tengah dan pasangan
M ∩ P ∩ C: 3
M ∩ P saja: 10 − 3 = 7
M ∩ C saja: 4 − 3 = 1
P ∩ C saja: 4 − 3 = 1
Himpunan tunggal
M saja: 22 − 7 − 1 − 3 = 11
P saja: 12 − 7 − 1 − 3 = 1
C saja: 11 − 1 − 1 − 3 = 6
Jawaban
|M ∪ P ∪ C| = 30
|(M ∪ P ∪ C)′| = 34 − 30 = 4
Jawaban
|(M ∪ P ∪ C)′| = 4
4.Himpunan, relasi & fungsi
Jawaban: (g ∘ f)(1) = 2
Fungsi dan pencacahan: fungsi f: A → B memberi setiap elemen A tepat satu bayangan di B. f injektif (satu-satu) jika elemen berbeda punya bayangan berbeda, surjektif (pada) jika setiap elemen B adalah bayangan, dan bijektif jika keduanya berlaku. Dengan |A| = m dan |B| = n ada nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi injektif (m ≤ n), dan menurut inklusi–eksklusi Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi surjektif. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Fungsi dalam
f(1) = 1
Fungsi luar
g(1) = 2
(g ∘ f)(1) = 2
Jawaban
(g ∘ f)(1) = 2
5.Teori graf
Jawaban: Lintasan Euler, bukan sirkuit
Euler, Hamilton, dan pohon: graf terhubung memiliki sirkuit Euler (setiap sisi sekali, kembali ke awal) jika setiap simpul berderajat genap, dan lintasan Euler yang bukan sirkuit jika tepat dua simpul berderajat ganjil; lintasan itu berjalan dari satu simpul ganjil ke simpul ganjil lainnya. Sirkuit Hamilton mengunjungi setiap simpul sekali; Kn memiliki (n − 1)!/2 sirkuit seperti itu. Pohon dengan n simpul memiliki n − 1 sisi, dan graf terhubung dengan m sisi masih memiliki pohon rentang setelah m − n + 1 sisi dihapus.
Lintasan Euler dimulai di satu simpul ganjil dan berakhir di simpul ganjil lainnya.
6.Teori graf
Jawaban: sisi EF
Lintasan terpendek dan pohon rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu simpul per putaran: simpul belum tetap dengan jarak sementara terkecil. Jaraknya lalu final, dan setiap tetangga v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membangun pohon rentang minimum dengan mengambil sisi dari yang ringan ke berat dan melewati sisi yang akan membentuk siklus; algoritma Prim menumbuhkan satu pohon dari simpul awal dengan selalu menambahkan sisi teringan yang keluar dari pohon. Pohon rentang dengan n simpul memiliki n − 1 sisi.
Algoritma Prim
1. GE (6)
2. DE (5)
3. GC (8)
4. AC (1)
5. EF (9)
6. AB (15)
sisi nomor 5
EF
Jawaban
sisi EF
7.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: x = 27
Invers dan kongruensi: a memiliki invers modulo n tepat ketika FPB(a, n) = 1. Algoritma Euclid yang diperluas menuliskan 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruensi a·x ≡ b (mod n) dengan FPB(a, n) = 1 memiliki penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruensi x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus saling prima memiliki satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorema sisa Cina). φ(n) Euler menghitung bilangan dari 1 sampai n yang saling prima dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kongruensi pertama
x = 2 + 5k
Kongruensi kedua
2 + 5k ≡ 0 (mod 9) → 5k ≡ 7 (mod 9)
k ≡ 2·7 ≡ 5 (mod 9)
Hasil
x = 2 + 5·5 = 27
x = 27
periksa: 27 mod 5 = 2, 27 mod 9 = 0
Jawaban
x = 27
8.Teori bilangan & aritmetika modular
Jawaban: c = 271
Pangkat modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan pengkuadratan berulang: tulis k dalam biner, kuadratkan, reduksi setelah setiap langkah, dan kalikan pangkat yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk bilangan prima p yang tidak membagi a, sehingga eksponen dapat direduksi modulo p − 1. RSA: pilih bilangan prima p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen publik e saling prima dengan φ(n), dan eksponen privat adalah d = e⁻¹ mod φ(n). Enkripsi dengan c = mᵉ mod n dan dekripsi dengan m = cᵈ mod n.