Barisan & deret: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Barisan & deret gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: deret aritmetika dan geometri, kekonvergenan dan deret pangkat, polinom Taylor dan Maclaurin.

Soal latihan gratisMudah
kak​12345678

Carilah jumlah S8 dari 8 suku pertama barisan geometri 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Soal berikutnya →
Berlatih Barisan & deret secara gratisBerlatih Barisan & deret sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahderet aritmetika dan geometri
  2. Sedangkekonvergenan dan deret pangkat
  3. Sulitpolinom Taylor dan Maclaurin

Cara menyelesaikan soal Barisan & deret

  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kesalahan umum

  • Memakai n dan bukan n − 1 pada aₙ = a₁ + (n − 1)d atau a₁rⁿ⁻¹.
  • Memakai rumus jumlah tak hingga ketika |r| ≥ 1, atau dengan suku pertama yang salah.
  • Menyimpulkan kekonvergenan hanya karena suku-sukunya menuju 0.
  • Membalik limit uji rasio: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, bukan kebalikannya.
  • Lupa faktorial atau tanda selang-seling pada polinom Taylor.

Rumus utama

Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Pelajari Barisan & deret dari nol

Sebelum ini: Limit, Turunan

1Barisan aritmetika dan geometri

Barisan adalah daftar bilangan a₁, a₂, a₃, … dan deret adalah jumlahnya. Dua jenis muncul kembali di setiap ujian.

Barisan aritmetika menambahkan beda d yang sama pada setiap langkah: 3, 7, 11, 15, … memiliki d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Untuk 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 dan S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Perhatikan n − 1: dari suku pertama ke suku ke-20 hanya ada 19 langkah.

Barisan geometri mengalikan dengan rasio r yang sama pada setiap langkah: 2, 6, 18, … memiliki r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Tes mandiri Berapa suku ke-10 dari 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Jawaban: 32. d = 3, jadi a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Memakai 10·3 dan bukan 9·3 memberi 35.

2Deret geometri tak hingga

Teruskan menambah suku 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … dan jumlahnya merayap naik ke 4 tanpa pernah melewatinya.

nSₙ4123456789233,5

Ketika |r| < 1 suku rⁿ dalam Sₙ mengecil menuju 0, dan jumlah tak hingga ada:

S = a₁/(1 − r), hanya untuk |r| < 1

Di sini a₁ adalah suku pertama dari jumlah itu. Untuk Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ suku pertamanya 8·(1/2)² = 2, jadi S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Ketika |r| ≥ 1 suku-sukunya tidak mengecil dan deret tidak memiliki jumlah: deret itu divergen.

Tes mandiri Berapa Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Jawaban: 4. Suku pertama (k = 0) adalah 3 dan r = 1/4, jadi S = 3/(1 − 1/4) = 4. Memakai 1 + r pada penyebut memberi 2,4.

3Apakah suatu deret konvergen?

Sebagian besar deret tidak memiliki rumus jumlah sederhana, tetapi Anda tetap dapat menentukan apakah jumlahnya berhingga. Pakai uji-uji ini dalam urutan berikut:

  1. Uji suku ke-n: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen. Σ k/(k + 1) divergen karena suku-sukunya menuju 1.
  2. Deret baku: Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1 (jadi Σ1/k, deret harmonik, divergen). Σrᵏ konvergen hanya untuk |r| < 1.
  3. Perbandingan: 1/(k² + 3) lebih kecil dari 1/k², jadi Σ1/(k² + 3) juga konvergen.
  4. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak memberi jawaban. Pakai untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  5. Deret selang-seling: Σ(−1)ᵏ/k konvergen, karena suku-sukunya bergantian tanda dan menurun menuju 0.

Contoh: untuk Σ k/2ᵏ rasionya ((k + 1)/k)·(1/2), yang menuju L = 1/2 < 1, jadi deret itu konvergen.

Tes mandiri Manakah dari deret berikut yang divergen?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Jawaban: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 adalah deret-p dengan p = 1/2 ≤ 1, jadi divergen. 1/k² memiliki p = 2, (2/3)ᵏ geometri dengan r < 1, dan uji rasio memberi L = 0 untuk 3ᵏ/k!.

4Deret pangkat dan jari-jari kekonvergenan

Deret pangkat Σ ck(x − x₀)ᵏ adalah polinom tanpa akhir. Deret ini konvergen untuk x yang cukup dekat dengan pusat x₀.

Uji rasio pada seluruh suku memberi jari-jari kekonvergenan R: deret konvergen untuk |x − x₀| < R dan divergen untuk |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Contoh: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) memiliki ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, yang menuju 3. Jadi R = 3 dan deret konvergen untuk −3 < x < 3.

Di kedua titik ujung uji tidak memberi jawaban; periksa keduanya secara terpisah jika soal menanyakan interval lengkap.

5polinom Taylor dan Maclaurin

Di dekat titik a, fungsi mulus tampak seperti polinom. Polinom Taylor berderajat n cocok dengan nilai dan n turunan pertama di a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Untuk a = 0 disebut polinom Maclaurin. Hafalkan deret-deret ini:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Semakin banyak suku yang diambil, semakin lama polinom itu tetap dekat dengan fungsinya.

Contoh soal

Hampiri e0,5 dengan polinom Maclaurin berderajat 3, dan batasi galatnya.

1

Tuliskan polinomnya

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Substitusikan x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Batas galat Lagrange

Galatnya paling besar M·|x|⁴/4!, dengan M nilai terbesar turunan ke-4 eᵗ di antara 0 dan 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Bandingkan

Kalkulator memberi e0,5 = 1,648721, jadi galat sebenarnya 0,0029, di dalam batas.

Jawaban

e0,5 ≈ 1,6458, dengan galat paling besar 0,0043.

6Kesalahan umum dan soal ujian

  • Memakai n dan bukan n − 1 langkah untuk suku ke-n.
  • Menulis a/(1 − r) dengan suku pertama yang salah ketika jumlahnya tidak dimulai dari k = 0.
  • Menyimpulkan bahwa deret konvergen karena suku-sukunya menuju 0. Σ1/k adalah contoh penyangkalnya.
  • Lupa faktorial pada polinom Taylor, atau tanda minus pada sin dan cos.
  • Memakai |x|ⁿ/n! dan bukan |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! pada batas galat.

Mudah: jumlah barisan aritmetika dan geometri. Sedang: menentukan kekonvergenan, uji rasio, dan jari-jari kekonvergenan. Sulit: polinom Taylor, koefisiennya, dan batas galat.

Tes mandiri Berapa koefisien x³ dalam deret Maclaurin sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Jawaban: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, dan 3! = 6, jadi koefisiennya −1/6. Lupa tanda minus memberi 1/6.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
kak​13579111315ε = 0,2

Barisan geometri aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ menurun. Carilah indeks pertama n yang membuat aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Tentukan n

Tampilkan petunjuk
  1. Selesaikan 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 dengan logaritma.
  2. ln 0,85 negatif: membagi dengannya membalik pertidaksamaan.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Deret aritmetika dan geometri: barisan aritmetika menambahkan beda d yang sama pada setiap langkah, aₙ = a₁ + (n − 1)d, dan jumlahnya Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Barisan geometri mengalikan dengan rasio r yang sama, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, dengan Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Ketika |r| < 1 suku-sukunya mengecil cukup cepat sehingga jumlah tak hingga ada: S = a₁/(1 − r), dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.

Pertidaksamaan

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritma

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Periksa

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Jawaban

n = 21
Contoh 2Sedang
kSn​12345678910S = ?

Carilah jumlah S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Tentukan S

Tampilkan petunjuk
  1. Pecahan parsial: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Tuliskan beberapa suku pertama: sebagian besar saling meniadakan (jumlah teleskopik).
  3. Yang tersisa adalah (12/3)·(1 + … + 1/3).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Jawaban

S = 7,333
Contoh 3Sulit

f(x) = cos x dihampiri pada x = 1 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Tentukan n

Tampilkan petunjuk
  1. Coba n = 1, 2, 3, … dan hitung 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! setiap kali.
  2. Faktorial tumbuh cepat, jadi beberapa langkah sudah cukup.
  3. Berhenti pada n pertama yang batasnya di bawah 1 × 10⁻⁶.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

n(n + 1)!batas011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Batas untuk n yang membesar

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Derajat terkecil

n = 9

Jawaban

n = 9

Tanya jawab

Apa itu Barisan & deret?

Barisan aritmetika menambahkan beda d yang sama pada setiap langkah: 3, 7, 11, 15, … memiliki d = 4.

Untuk 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 dan S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Perhatikan n − 1: dari suku pertama ke suku ke-20 hanya ada 19 langkah.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Barisan & deret langkah demi langkah?
  1. Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
  2. Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
  3. Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
  4. Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Barisan & deret?
  • Memakai n dan bukan n − 1 pada aₙ = a₁ + (n − 1)d atau a₁rⁿ⁻¹.
  • Memakai rumus jumlah tak hingga ketika |r| ≥ 1, atau dengan suku pertama yang salah.
  • Menyimpulkan kekonvergenan hanya karena suku-sukunya menuju 0.
  • Membalik limit uji rasio: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, bukan kebalikannya.
  • Lupa faktorial atau tanda selang-seling pada polinom Taylor.
Apa saja yang dilatih dalam soal Barisan & deret?
  • Mudah: deret aritmetika dan geometri
  • Sedang: kekonvergenan dan deret pangkat
  • Sulit: polinom Taylor dan Maclaurin

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

LimitTurunan

Mata kuliah dengan topik ini

Matematika Teknik 2Kalkulus 2Metode NumerikSoal latihan AP Calculus

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Barisan & deret dengan jawaban
Berlatih Barisan & deret secara gratisBerlatih Barisan & deret sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.