Kalkulus multivariabel: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Kalkulus multivariabel gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: turunan parsial dan integral lipat dua, gradien, bidang singgung, dan aturan rantai, titik kritis dan integral pada daerah.

Soal latihan gratisMudah
xy3−3P

Untuk f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, carilah turunan parsial ∂f/∂x di titik (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Soal berikutnya →
Berlatih Kalkulus multivariabel secara gratisBerlatih Kalkulus multivariabel sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahturunan parsial dan integral lipat dua
  2. Sedanggradien, bidang singgung, dan aturan rantai
  3. Sulittitik kritis dan integral pada daerah

Cara menyelesaikan soal Kalkulus multivariabel

  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.

Kesalahan umum

  • Menurunkan variabel yang seharusnya dijaga konstan.
  • Lupa menormalkan vektor arah.
  • Menulis D = fxx·fyy + fxy² atau menyebut titik dengan D < 0 sebagai ekstremum.
  • Memakai batas dalam konstan untuk daerah yang dibatasi kurva.
  • Menghilangkan faktor r pada dA = r dr dθ.

Rumus utama

Turunan parsial
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradien
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Turunan berarah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Bidang singgung
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Aturan rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Uji turunan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral lipat dua
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Pelajari Kalkulus multivariabel dari nol

Sebelum ini: Turunan, Integral

1Turunan parsial

Fungsi dua variabel, z = f(x, y), adalah permukaan di atas bidang xy. Pada peta, fungsi itu digambar dengan kurva ketinggian, garis tempat f bernilai sama.

Turunan parsial mengukur kemiringan pada satu arah. Untuk ∂f/∂x (juga ditulis fx) Anda menjaga y konstan dan menurunkan terhadap x dengan aturan biasa.

Contoh: f(x, y) = x²y + 3y². Anggap y sebagai bilangan untuk fx, dan x sebagai bilangan untuk fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Di (1, 2) ini memberi fx = 4 dan fy = 1 + 12 = 13.

Menurunkan lagi menghasilkan turunan parsial kedua fxx, fyy, dan fxy. Urutan turunan campuran tidak berpengaruh: fxy = fyx. Di sini fxy = 2x.

Tes mandiri Berapa ∂f/∂y untuk f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Jawaban: 2x³y. Jaga x konstan: x³ adalah faktor konstan, dan y² menghasilkan 2y, jadi fy = 2x³y. 3x²y² adalah ∂f/∂x.

2Gradien dan turunan berarah

Gradien mengumpulkan kedua turunan parsial: ∇f = (fx, fy). Gradien menunjuk ke arah f naik paling cepat, tegak lurus terhadap kurva ketinggian.

xy∇fP

Kemiringan tercuram itu sendiri adalah panjang |∇f| = √(fx² + fy²).

Kemiringan pada arah lain v adalah turunan berarah. Jadikan dulu v vektor satuan u = v/|v|, lalu ambil hasil kali titik:

Duf = ∇f·u

Untuk f = x²y + 3y² di (1, 2): ∇f = (4, 13). Pada arah v = (3, 4), u = (0,6; 0,8), jadi Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Tes mandiri Di suatu titik ∇f = (3, 4). Berapa laju kenaikan terbesar f di sana?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Jawaban: 5. Itu adalah |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Menjumlahkan komponen memberi 7, dan lupa akar kuadrat memberi 25.

3Bidang singgung dan aturan rantai

Di dekat titik (a, b) permukaan hampir datar. Bidang singgung adalah

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Bidang ini memberi hampiran linear f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Contoh: f = x²y + 3y² memiliki f(1, 2) = 14, jadi di dekat (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Nilai eksaknya 13,129.

Ketika x dan y sama-sama bergantung pada t, aturan rantai menjumlahkan kedua jalur: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Titik kritis

Di maksimum, minimum, atau titik pelana permukaannya datar: fx = 0 dan fy = 0. Titik-titik seperti itu adalah titik kritis.

Uji turunan kedua memakai D = fxxfyy − fxy² di titik itu:

  • D > 0 dan fxx > 0: minimum lokal.
  • D > 0 dan fxx < 0: maksimum lokal.
  • D < 0: titik pelana, naik pada satu arah dan turun pada arah lain.
  • D = 0: ujinya tidak menentukan apa pun.
Contoh soal

Carilah dan klasifikasikan titik kritis f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Tetapkan kedua turunan parsial sama dengan nol

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Titik kritisnya adalah (1, 2) dan (−1, 2).

2

Turunan kedua

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Uji (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 dan fxx = 6 > 0: minimum lokal, dengan f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Uji (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: titik pelana.

Jawaban

Minimum lokal di (1, 2) dengan f = −6; titik pelana di (−1, 2).

5Integral lipat dua

Integral lipat dua ∬R f dA menjumlahkan f pada daerah R; untuk f = 1 hasilnya luas R. Hitung sebagai dua integral tunggal, yang dalam lebih dulu.

Pada persegi panjang batasnya berupa bilangan: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Integral dalam memberi x + 1, dan ∫02 (x + 1) dx = 4.

Pada daerah umum, batas dalam adalah kurva yang membatasinya. Untuk daerah di antara y = x² dan y = 2x, y berjalan dari x² sampai 2x, dan x dari 0 sampai 2.

xyy = 2xy = x²2
Luas = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub: x² + y² = r² dan dA = r dr dθ. Pada cakram r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Tes mandiri Dalam koordinat kutub, menjadi apa dA?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Jawaban: r dr dθ. Petak kutub kecil selebar Δr dan sepanjang r·Δθ, jadi dA = r dr dθ. Melupakan faktor r adalah kesalahan yang paling umum.

6Kesalahan umum dan soal ujian

  • Ikut menurunkan variabel yang “konstan” pada turunan parsial.
  • Memakai v dan bukan vektor satuan u pada turunan berarah.
  • Menulis D = fxxfyy + fxy², atau mengklasifikasikan titik dengan D < 0 sebagai ekstremum.
  • Memakai bilangan sebagai batas dalam padahal daerahnya dibatasi kurva.
  • Melupakan faktor r pada koordinat kutub.

Mudah: turunan parsial di suatu titik dan integral pada persegi panjang. Sedang: gradien, turunan berarah, bidang singgung, dan aturan rantai. Sulit: mengklasifikasikan titik kritis dan integral pada daerah melengkung, dalam koordinat kutub atau dengan urutan dibalik.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xy−1−3P

Untuk f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, carilah turunan parsial ∂f/∂x di titik (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Tentukan fx(−1, −3)

Tampilkan petunjuk
  1. Anggap y sebagai bilangan konstan dan turunkan terhadap x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Substitusikan x = −1 dan y = −3.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Turunan parsial: ∂f/∂x adalah turunan biasa terhadap x dengan y dijaga konstan (anggap y sebagai bilangan), dan ∂f/∂y sebaliknya. Aturannya (pangkat, hasil kali, rantai) sama seperti pada satu variabel. Turunan kedua campuran memberi hasil yang sama dalam urutan apa pun: fxy = fyx. Integral lipat dua pada persegi panjang dihitung sebagai dua integral tunggal, yang dalam lebih dulu: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Turunkan

y dijaga konstan.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Substitusikan

fx(−1, −3) = −4

Jawaban

fx(−1, −3) = −4
Contoh 2Sedang

z = 2x²e3y dengan x = −t − 2 dan y = t² + 2. Pakai aturan rantai untuk mencari dz/dt pada t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Tentukan dz/dt

Tampilkan petunjuk
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Pada t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Gradien: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah kenaikan tercuram, dan |∇f| adalah laju perubahan terbesar. Turunan berarah sepanjang arah v adalah Duf = ∇f·u dengan vektor satuan u = v/|v|. Bidang singgung di (a, b) adalah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); bidang ini memberi hampiran linear f di dekat titik itu. Aturan rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Titik dan laju

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Turunan parsial

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Aturan rantai

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Jawaban

dz/dt = 3227
Contoh 3Sulit
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy memiliki titik kritis di (1, 1). Hitung diskriminan D = fxxfyy − fxy² di sana.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Tentukan D

Tampilkan petunjuk
  1. Cari ketiga turunan kedua fxx, fyy, dan fxy.
  2. Di titik itu: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Titik kritis dan integral lipat dua: titik kritis memiliki fx = fy = 0. Uji turunan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 adalah minimum lokal, D > 0 dan fxx < 0 maksimum lokal, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa pun. Untuk integral lipat dua pada daerah umum, jadikan batas dalam sebagai kurva yang membatasi daerah; untuk cakram dan juring pakai koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Turunan kedua

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Diskriminan

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ minimum lokal

Jawaban

D = 27

Tanya jawab

Apa itu Kalkulus multivariabel?

Fungsi dua variabel, z = f(x, y), adalah permukaan di atas bidang xy. Pada peta, fungsi itu digambar dengan kurva ketinggian, garis tempat f bernilai sama.

Contoh: f(x, y) = x²y + 3y². Anggap y sebagai bilangan untuk fx, dan x sebagai bilangan untuk fy:

Bagaimana cara menyelesaikan soal Kalkulus multivariabel langkah demi langkah?
  1. Untuk turunan parsial, anggap variabel lain sebagai konstanta dan pakai aturan satu variabel.
  2. Untuk soal gradien hitung ∇f = (fx, fy) di titik itu; pakai |∇f| untuk kemiringan tercuram dan ∇f·u dengan vektor satuan u untuk turunan berarah.
  3. Untuk ekstremum selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, lalu klasifikasikan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk integral lipat dua gambar daerahnya, pilih urutannya (atau koordinat kutub untuk cakram) agar batas dalam adalah kurva pembatas, dan integralkan bagian dalam lebih dulu.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Kalkulus multivariabel?
  • Menurunkan variabel yang seharusnya dijaga konstan.
  • Lupa menormalkan vektor arah.
  • Menulis D = fxx·fyy + fxy² atau menyebut titik dengan D < 0 sebagai ekstremum.
  • Memakai batas dalam konstan untuk daerah yang dibatasi kurva.
  • Menghilangkan faktor r pada dA = r dr dθ.
Apa saja yang dilatih dalam soal Kalkulus multivariabel?
  • Mudah: turunan parsial dan integral lipat dua
  • Sedang: gradien, bidang singgung, dan aturan rantai
  • Sulit: titik kritis dan integral pada daerah

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

TurunanIntegral

Mata kuliah dengan topik ini

Matematika Teknik 2Kalkulus 2

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Kalkulus multivariabel dengan jawaban
Berlatih Kalkulus multivariabel secara gratisBerlatih Kalkulus multivariabel sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.