Uji hipotesis & selang kepercayaan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Uji hipotesis & selang kepercayaan gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: statistik z, statistik t, selang kepercayaan.

Soal latihan gratisMudah
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Seorang pemasok mengklaim bahwa rata-rata kuat putus suatu kabel adalah 50 kN; Anda menduga nilainya lebih tinggi. Simpangan bakunya diketahui 8 kN. Anda akan mengambil sampel 25 kabel dan menguji H₀: μ = 50 kN melawan H₁: μ > 50 kN pada α = 0,05. Di atas rata-rata sampel berapa x̄c Anda akan menolak H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Soal berikutnya →
Berlatih Uji hipotesis & selang kepercayaan secara gratisBerlatih Uji hipotesis & selang kepercayaan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahstatistik z
  2. Sedangstatistik t
  3. Sulitselang kepercayaan

Cara menyelesaikan soal Uji hipotesis & selang kepercayaan

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Kesalahan umum

  • Memakai nilai kritis satu sisi untuk uji dua sisi.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar padahal hanya tidak ditolak.
  • Lupa √n dalam galat baku.

Rumus utama

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Pelajari Uji hipotesis & selang kepercayaan dari nol

Sebelum ini: Selang kepercayaan

1Gagasan tentang uji

Sebuah mesin seharusnya mengisi botol dengan rata-rata 500 mL. Sampel botol memiliki rata-rata 496 mL. Apakah mesinnya salah, atau ini hanya kebetulan?

Uji hipotesis menjawab pertanyaan itu dengan angka. Anda memulai dari dua pernyataan:

  • Hipotesis nol H₀: tidak ada yang berubah. Di sini H₀: μ = 500.
  • Hipotesis alternatif H₁: apa yang Anda curigai. Di sini H₁: μ ≠ 500 (dua sisi), atau μ < 500 jika Anda hanya khawatir pengisiannya kurang (satu sisi).

Anda mengasumsikan H₀ benar dan bertanya: seberapa tidak biasa sampel ini? Jika sangat tidak biasa, Anda menolak H₀.

Tes mandiri Seorang pemasok mengklaim resistornya rata-rata 220 Ω. Anda ingin menguji klaim ini. Apa H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Jawaban: μ = 220 Ω. H₀ adalah klaim yang diuji, tentang rata-rata populasi μ. μ ≠ 220 Ω adalah alternatif H₁, dan hipotesis tidak pernah tentang rata-rata sampel x̄, yang sudah Anda ketahui.

2Statistik uji

Statistik uji mengukur seberapa jauh rata-rata sampel dari μ₀, nilai dalam H₀, dalam satuan galat baku.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Pakai z jika simpangan baku populasi σ diketahui. Jika hanya simpangan baku sampel s yang diketahui, pakai t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Nilai z atau t di dekat 0 berarti sampel sesuai dengan H₀. Nilai positif atau negatif yang besar berarti sampel jauh dari μ₀.

Tes mandiri H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16, dan x̄ = 118. Berapa z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Jawaban: −1. Galat bakunya 8/√16 = 2, sehingga z = (118 − 120)/2 = −1. Membagi dengan σ = 8, bukan σ/√n, menghasilkan −0,25. Tandanya negatif karena x̄ di bawah μ₀.

3Memutuskan: nilai kritis dan nilai-p

Sebelum melihat data, pilih taraf signifikansi α, biasanya 0,05. Itu adalah risiko yang Anda terima untuk menolak H₀ yang benar.

Untuk uji z pada α = 0,05:

  • Dua sisi (H₁: μ ≠ μ₀): tolak H₀ jika |z| > 1,96.
  • Satu sisi (H₁: μ > μ₀): tolak H₀ jika z > 1,645. Untuk μ < μ₀: tolak jika z < −1,645.

Nilai-p adalah peluang hasil yang setidaknya sekstrem ini jika H₀ benar. Tolak H₀ ketika p < α.

Tidak menolak H₀ bukan berarti membuktikannya. Itu hanya berarti data bukan bukti yang cukup kuat untuk melawannya.

Uji dan selang kepercayaan sejalan: uji dua sisi pada 5% menolak H₀ tepat ketika μ₀ berada di luar selang 95% x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Tes mandiri Uji z dua sisi pada α = 0,05 menghasilkan z = 1,8. Apa kesimpulan Anda?
  1. H₀ terbukti benar
  2. Menolak H₀
  3. Menolak H₁ dan menerima H₀ sebagai terbukti
  4. Tidak menolak H₀

Jawaban: Tidak menolak H₀. |1,8| lebih kecil daripada 1,96, sehingga hasilnya tidak signifikan dan H₀ tidak ditolak. Itu tidak membuktikan H₀; buktinya hanya belum cukup kuat.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁, dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Pilih z (σ diketahui) atau t (hanya s yang diketahui, df = n − 1).
  3. Hitung galat baku σ/√n atau s/√n.
  4. Hitung statistik uji (x̄ − μ₀) / galat baku.
  5. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  6. Nyatakan kesimpulan dengan kata-kata, sesuai dengan pertanyaannya.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Sebuah mesin seharusnya mengisi botol dengan rata-rata 500 mL. σ = 12 mL. Sampel 36 botol memiliki rata-rata 496 mL. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ ≠ 500 pada α = 0,05.

1

Hipotesis

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Ini dua sisi, sehingga nilai kritisnya ±1,96.

2

Galat baku

σ diketahui, jadi pakai z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Statistik uji

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Bandingkan

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 lebih besar daripada 1,96, sehingga z berada di daerah penolakan yang diarsir.

5

Periksa dengan selang

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Nilai 500 berada di luar selang 95%, sehingga selang memberikan keputusan yang sama.

Jawaban

z = −2. Tolak H₀ pada taraf 5%: rata-rata pengisian mesin berbeda dari 500 mL.

6Kesalahan umum

  • Memakai nilai kritis satu sisi (1,645) untuk uji dua sisi, atau sebaliknya.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar padahal hanya tidak ditolak.
  • Lupa √n dalam galat baku.
  • Menulis x̄ − μ₀ dengan urutan terbalik, yang membalik tanda z.
  • Memakai z ketika hanya s sampel yang diketahui untuk sampel kecil.
Tes mandiri Uji satu sisi dengan H₁: μ > μ₀ pada α = 0,05 menghasilkan z = 1,8. Apa kesimpulan Anda?
  1. Jangan tolak H₀, karena 1,8 < 1,96
  2. Jangan tolak H₀, karena 1,8 < 2,576
  3. Tolak H₀, karena 1,8 > 1,645
  4. Tolak H₀, karena z positif

Jawaban: Tolak H₀, karena 1,8 > 1,645. Satu sisi pada 5% menempatkan seluruh 5% pada satu ekor, sehingga nilai kritisnya 1,645. Membandingkan dengan 1,96 keliru memakai nilai dua sisi.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: statistik z. σ diketahui; hitung z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Sedang: statistik t. Hanya simpangan baku sampel s yang diberikan; hitung t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Sulit: selang kepercayaan. Cari batas bawah atau atas dari x̄ ± z · σ/√n pada 95% atau 99%.

Pemeriksaan cepat: jika x̄ di bawah μ₀, statistik uji harus negatif.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
z −1,9601,96

Sebuah mesin seharusnya mengisi botol rata-rata 100 mL. Simpangan bakunya diketahui 4 mL. Sampel 81 botol memiliki rata-rata 99,6 mL. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Tentukan z

Tampilkan petunjuk
  1. Galat baku rata-rata adalah simpangan baku dibagi √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Lalu bagi selisih x̄ − μ₀ dengan galat baku. Pertahankan tandanya.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statistik uji

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Jawaban

z = −0,9

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

Contoh 2Sedang
t −1,99801,998

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 504,5 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Tentukan t

Tampilkan petunjuk
  1. Galat baku rata-rata adalah simpangan baku dibagi √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Lalu bagi selisih x̄ − μ₀ dengan galat baku. Pertahankan tandanya.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistik uji

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Jawaban

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

Contoh 3Sulit
z −2,57602,576

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 80. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Tentukan L

Tampilkan petunjuk
  1. Selang kepercayaan: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 untuk 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Batas selang

L = 80 − 6,44 = 73,56

Jawaban

L = 73,56

Tanya jawab

Apa itu Uji hipotesis & selang kepercayaan?

Sebuah mesin seharusnya mengisi botol dengan rata-rata 500 mL. Sampel botol memiliki rata-rata 496 mL. Apakah mesinnya salah, atau ini hanya kebetulan?

Anda mengasumsikan H₀ benar dan bertanya: seberapa tidak biasa sampel ini? Jika sangat tidak biasa, Anda menolak H₀.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Uji hipotesis & selang kepercayaan langkah demi langkah?
  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Uji hipotesis & selang kepercayaan?
  • Memakai nilai kritis satu sisi untuk uji dua sisi.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar padahal hanya tidak ditolak.
  • Lupa √n dalam galat baku.
Apa saja yang dilatih dalam soal Uji hipotesis & selang kepercayaan?
  • Mudah: statistik z
  • Sedang: statistik t
  • Sulit: selang kepercayaan

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Selang kepercayaan

Lanjutkan dengan

Uji chi-kuadrat

Kalkulator

Kalkulator uji-tKalkulator nilai pKalkulator ANOVA satu arah

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika DasarStatistika 2: Inferensi StatistikPraktik Berbasis BuktiSoal latihan AP StatisticsLatihan metode kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanRegresi linear & korelasiUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Uji hipotesis & selang kepercayaan dengan jawaban
Berlatih Uji hipotesis & selang kepercayaan secara gratisBerlatih Uji hipotesis & selang kepercayaan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.