Regresi linear & korelasi: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Regresi linear & korelasi gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: kemiringan dan intersep, koefisien korelasi, prediksi.

Soal latihan gratisMudah
xy242352445555660760xy2465060

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Cari intersepnya a.

n = 6
Soal berikutnya →
Berlatih Regresi linear & korelasi secara gratisBerlatih Regresi linear & korelasi sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahkemiringan dan intersep
  2. Sedangkoefisien korelasi
  3. Sulitprediksi

Rumus utama

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Pelajari Regresi linear & korelasi dari nol

Sebelum ini: Statistika deskriptif

1Apa itu regresi

Anda mengukur dua besaran untuk setiap kasus, misalnya x = jam belajar dan y = nilai ujian. Setiap pasangan adalah satu titik dalam diagram pencar.

xy123456246810

Jika titik-titik terletak kira-kira sepanjang garis lurus, Anda dapat menjelaskannya dengan sebuah garis dan memakainya untuk memprediksi y dari x. Ini adalah regresi linear.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y topi”) adalah nilai prediksi y.
  • b adalah kemiringan (slope): seberapa besar ŷ berubah ketika x naik 1.
  • a adalah intersep: nilai ŷ pada x = 0.
Tes mandiri Garis regresi adalah ŷ = 40 + 5x, dengan x jam belajar dan ŷ nilai prediksi. Apa arti angka 5?
  1. Garis melewati (5, 40)
  2. Nilai adalah 5 kali jam belajar
  3. Setiap jam tambahan menambah sekitar 5 poin
  4. Siswa yang tidak belajar mendapat nilai 5

Jawaban: Setiap jam tambahan menambah sekitar 5 poin. Kemiringan b adalah perubahan ŷ per satuan x. Nilai prediksi pada x = 0 adalah intersep a = 40, bukan 5.

2Garis kuadrat terkecil

Tidak ada garis yang melewati setiap titik. Jarak vertikal dari titik ke garis adalah residu-nya, e = y − ŷ.

Garis kuadrat terkecil (least squares) adalah garis dengan jumlah kuadrat residu terkecil yang mungkin. Kemiringan dan intersepnya diperoleh dari jumlah simpangan terhadap rata-rata:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Garis selalu melewati titik rata-rata (x̄, ȳ). Itulah sebabnya a = ȳ − b · x̄.

Jika hanya jumlah-jumlahnya yang diberikan, pakai jalan pintas Sxx = Σx² − (Σx)²/n dan Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Tes mandiri Untuk suatu kumpulan data x̄ = 4, ȳ = 10, dan b = 2. Berapa intersep a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Jawaban: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Menjumlahkan, bukan mengurangkan, menghasilkan 18, dan 10 adalah ȳ itu sendiri, yang melupakan kemiringan.

3Koefisien korelasi

Koefisien korelasi Pearson r mengukur seberapa dekat titik-titik dengan garis lurus. Nilainya selalu antara −1 dan 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r mendekati 1: tren naik yang kuat.
  • r mendekati −1: tren turun yang kuat, seperti harga mobil terhadap usia mobil.
  • r mendekati 0: tidak ada hubungan garis lurus.

r memiliki tanda yang sama dengan kemiringan b. Kuadratnya r² adalah proporsi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Korelasi yang kuat tidak membuktikan bahwa x menyebabkan y. Keduanya mungkin bergantung pada besaran ketiga.

Tes mandiri Untuk usia mobil x dan harga y, r = −0,95. Apa yang ditunjukkan hal ini?
  1. Hubungan garis lurus yang menurun dengan kuat
  2. Hubungan yang lemah
  3. Mobil yang lebih tua lebih mahal
  4. Perhitungannya salah, karena r negatif

Jawaban: Hubungan garis lurus yang menurun dengan kuat. r mendekati −1 berarti titik-titik dekat dengan garis menurun: harga turun seiring usia naik. r negatif sepenuhnya valid; hanya nilai di luar −1 sampai 1 yang mustahil.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Hitung rata-rata x̄ dan ȳ.
  2. Buat tabel dengan kolom x − x̄, y − ȳ, hasil kalinya, dan (x − x̄)². Tambahkan (y − ȳ)² jika r ditanyakan.
  3. Jumlahkan kolom-kolom untuk mendapatkan Sxy, Sxx, dan Syy.
  4. Kemiringan b = Sxy/Sxx, lalu intersep a = ȳ − b · x̄.
  5. Korelasi r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Prediksi: masukkan x ke ŷ = a + bx. Residu: e = y − ŷ.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Lima pasangan diukur: x = 1, 2, 3, 4, 5 dan y = 3, 5, 6, 8, 8. Cari garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x dan prediksikan ŷ untuk x = 6.

1

Rata-ratanya

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Simpangan

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Jumlah-jumlahnya

Kalikan pasangannya: 6, 1, 0, 2, 4. Kuadratkan simpangan x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Kemiringan dan intersep

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Garis putus-putus adalah residu. Nilainya kecil, jadi garis cocok dengan baik.

5

Prediksi

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Periksa: garis melewati titik rata-rata, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Jawaban

ŷ = 2,1 + 1,3x, dan prediksi untuk x = 6 adalah ŷ = 9,9.

6Kesalahan umum

  • Menghitung residu sebagai ŷ − y, bukan y − ŷ.
  • Membagi dengan Syy, bukan Sxx, untuk kemiringan.
  • Mencampuradukkan a dan b: kemiringan mengalikan x.
  • Lupa bahwa r memiliki tanda yang sama dengan kemiringan.
  • Memprediksi jauh di luar rentang data. Garis lurus mungkin tidak berlaku di sana.
Tes mandiri Garisnya adalah ŷ = 2,1 + 1,3x. Sebuah titik baru (6, 8) diukur. Berapa residunya?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Jawaban: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, sehingga e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Titik itu berada di bawah garis. 1,9 menghitung ŷ − y, arah yang salah.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: kemiringan dan intersep. Lima pasangan dalam tabel; cari b atau a dari garis kuadrat terkecil.
  • Sedang: koefisien korelasi r, dari data atau dari jumlah yang diberikan.
  • Sulit: prediksi. Pakai garis untuk memprediksi ŷ pada x baru, atau cari residu dari pengamatan baru.

Pemeriksaan cepat: tanda b dan r harus sesuai dengan arah diagram pencar.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
xy2441262082210301235xy510102030

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Cari intersepnya a.

n = 6

Tentukan a

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu kemiringan b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. Garis melalui (x̄, ȳ), sehingga a = ȳ − b·x̄.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Kemiringan

b = 211/70 = 3,014

Intersep

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Jawaban

a = −0,6
Contoh 2Sedang
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Tentukan r

Tampilkan petunjuk
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Koefisien korelasi

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Jawaban

r = 0,9746
Contoh 3Sulit
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Tentukan ŷ

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu garis kuadrat terkecil: b = Sxy/Sxx dan a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Garis regresi

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Prediksi

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Jawaban

ŷ = 21,75

Tanya jawab

Apa itu Regresi linear & korelasi?

Anda mengukur dua besaran untuk setiap kasus, misalnya x = jam belajar dan y = nilai ujian. Setiap pasangan adalah satu titik dalam diagram pencar.

Jika titik-titik terletak kira-kira sepanjang garis lurus, Anda dapat menjelaskannya dengan sebuah garis dan memakainya untuk memprediksi y dari x. Ini adalah regresi linear.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Regresi linear & korelasi langkah demi langkah?

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Apa kesalahan yang sering terjadi pada Regresi linear & korelasi?
  • Intersepnya a = ȳ − b·x̄: garis melalui (x̄, ȳ).
  • ȳ adalah tinggi garis di x = x̄, bukan di x = 0. Gunakan a = ȳ − b·x̄.
  • Gunakan pembagi yang sama (n atau n − 1) pada kovarians dan pada kedua simpangan baku. Dengan Sxy, Sxx, dan Syy pembaginya saling menghilangkan.
Apa saja yang dilatih dalam soal Regresi linear & korelasi?
  • Mudah: kemiringan dan intersep
  • Sedang: koefisien korelasi
  • Sulit: prediksi

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Statistika deskriptif

Kalkulator

Kalkulator regresi linearKalkulator koefisien korelasi (Pearson dan Spearman)

Mata kuliah dengan topik ini

Metode Penelitian dan Statistika PsikologiStatistika DasarStatistika 2: Inferensi StatistikSoal latihan AP StatisticsLatihan metode kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Topik lain di Matematika & statistika

LimitTurunanOptimasiIntegralBarisan & deretKalkulus multivariabelPersamaan diferensialBilangan kompleksMetode numerikMatriks & determinanVektor: hasil kali titik & silangLogika proposisional & pembuktianHimpunan, relasi & fungsiTeori grafTeori bilangan & aritmetika modularPeluangStatistika deskriptifDistribusi normalSelang kepercayaanUji hipotesis & selang kepercayaanUji chi-kuadrat

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Regresi linear & korelasi dengan jawaban
Berlatih Regresi linear & korelasi secara gratisBerlatih Regresi linear & korelasi sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.