Metode Numerik: latihan soal dan soal ujian

Menghitung jawaban yang tidak memiliki rumus: akar persamaan dengan bisection dan Newton–Raphson, interpolasi pada tabel, integrasi numerik dengan kaidah trapesium dan Simpson, serta persamaan diferensial dengan Euler, Heun, dan Runge–Kutta. Ujian meminta beberapa iterasi dalam tabel dan besar galatnya.

Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Paket kilat (PDF)Lembar rumus, langkah-langkah metode, dan soal latihan dengan pembahasan lengkap, siap dicetak.

Topik dalam mata kuliah ini

  1. Metode numerikakar dan interpolasi · kaidah trapesium dan Simpson · Euler, Heun, dan Runge–Kuttahitungan
  2. Barisan & deretderet aritmetika dan geometri · kekonvergenan dan deret pangkat · polinom Taylor dan Maclaurinhitungan
  3. Matriks & determinandeterminan 2×2 · 3×3 dan perkalian · nilai eigen dan sistemhitungan
  4. Persamaan diferensialpertumbuhan dan peluruhan eksponensial · Hukum pendinginan Newton · linear orde satuhitungan

Tips ujian untuk Metode Numerik

  • Pertahankan minimal enam angka penting pada setiap iterasi dan bulatkan hanya jawaban akhir.
  • Tuliskan bobot kaidah integrasi di bawah tabel nilai sebelum Anda menjumlahkan apa pun.
  • Pakai polinom Taylor untuk menjelaskan galat: galat Euler sebanding dengan h, galat Simpson dengan h⁴.

Contoh dengan pembahasan

Metode numerikMudah

Metode bisection mulai pada interval sepanjang 4. Setiap langkah membagi dua interval. Berapa langkah n yang diperlukan paling sedikit sebelum interval lebih pendek dari 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Tentukan n

Tampilkan petunjuk
  1. Setelah n langkah interval memiliki panjang (b − a)/2ⁿ.
  2. Selesaikan 4/2ⁿ < 0,0001, jadi 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Pencarian akar dan interpolasi: bisection mempertahankan interval [a, b] tempat f berganti tanda; setiap langkah mengambil titik tengah c = (a + b)/2 dan mempertahankan setengah bagian tempat tanda masih berganti, sehingga setelah n langkah lebar interval adalah (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson mengikuti garis singgung sampai sumbu: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); di dekat akar sederhana ia kira-kira menggandakan jumlah digit benar per langkah. Interpolasi linear antara dua titik tabel: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Syarat

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritma

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Periksa

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Jawaban

n = 16
Barisan & deretSedang
kSn​12345678910S = ?

Carilah jumlah S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Tentukan S

Tampilkan petunjuk
  1. Pecahan parsial: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Tuliskan beberapa suku pertama: sebagian besar saling meniadakan (jumlah teleskopik).
  3. Yang tersisa adalah (12/3)·(1 + … + 1/3).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Jawaban

S = 7,333

Cara kerja latihan

  • “Latih mata kuliah ini” mencampur soal dari semua topiknya, seperti ujian sungguhan.
  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Ujian simulasi memiliki batas waktu dan tanpa petunjuk, dan di akhir Anda mendapat skor serta tinjauan lengkap.

Kalkulator untuk mata kuliah ini

Kalkulator determinan dan invers matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenKalkulator waktu paruh dan peluruhan eksponensialPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)

Mata kuliah terkait

Matematika Teknik 2Matematika TeknikPersamaan DiferensialKalkulus 2Soal latihan AP CalculusKalkulus 1Statistika DasarStatistika 2: Inferensi Statistik
Latih mata kuliah ini secara gratisLatih mata kuliah iniIkuti ujian simulasi5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.