Penyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)
Masukkan nilai Anda. Jawaban dan penyelesaian lengkapnya diperbarui saat Anda mengetik.
Hasil
Selesaikan sistem dua atau tiga persamaan linear. Ketik persamaan seperti yang Anda tulis, misalnya 2x + y − z = 8, atau masukkan matriks yang diperbesar. Kalkulator menunjukkan setiap operasi baris eliminasi Gauss–Jordan, atau determinan pada aturan Cramer, bekerja dengan pecahan eksak, dan mengenali sistem tanpa penyelesaian atau dengan penyelesaian tak hingga, yang dituliskan dengan parameter.
Penyelesaian langkah demi langkah
Sistemnya
Matriks yang diperluas
Kolom 1 (x): pivot pada baris 1
Kolom 2 (y): pivot pada baris 2
Kolom 3 (z): pivot pada baris 3
Baca penyelesaiannya
Periksa pada persamaan asli
Rumus utama
- determinan 2×2
- det = ad − bc
- Invers 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Aturan Cramer
- xi = det(Ai)/det(A)
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan eliminasi
- Tulis sistem sebagai matriks yang diperbesar: satu baris per persamaan, koefisien x, y, dan z, serta ruas kanan setelah garis pemisah.
- Pilih pivot di kolom pertama (entri tak nol, sebaiknya 1) dan tukar ke baris pertama jika perlu.
- Bagi baris pivot dengan pivot, lalu kurangkan kelipatannya dari baris lain agar sisa kolom menjadi nol.
- Ulangi untuk kolom berikutnya dan baris berikutnya sampai bagian koefisien berbentuk eselon baris tereduksi.
- Baca penyelesaiannya. Baris 0 = c dengan c ≠ 0 berarti tidak ada penyelesaian; kolom tanpa pivot berarti ada variabel bebas dan penyelesaian tak hingga.
- Periksa dengan mensubstitusikan penyelesaian ke persamaan semula.
Tanya jawab
Kapan sebaiknya saya memakai aturan Cramer?
Untuk sistem kecil dengan determinan tak nol, terutama 2×2. Setiap bilangan tak diketahui adalah rasio determinan: x = Dx/D. Untuk sistem yang lebih besar, atau bila D = 0, eliminasi lebih cepat dan juga menunjukkan apakah tidak ada penyelesaian atau tak hingga banyaknya.
Bagaimana mengetahui bahwa sistem tidak memiliki penyelesaian?
Jika eliminasi menghasilkan baris dengan semua koefisien nol tetapi ruas kanan tak nol, seperti 0 = 3. Secara geometri garis atau bidang tidak memiliki titik persekutuan, misalnya dua garis sejajar.
Apa arti penyelesaian tak hingga banyaknya?
Satu persamaan merupakan kombinasi persamaan lain, sehingga persamaan yang bebas lebih sedikit daripada bilangan tak diketahui. Penyelesaiannya membentuk garis atau bidang, yang ditulis dengan parameter t: misalnya x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Bagaimana cara memasukkan persamaan?
Pisahkan persamaan dengan titik koma dan tulis koefisien sebelum setiap variabel: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Pecahan seperti 1/2x dan desimal diperbolehkan, dan variabel boleh muncul di kedua ruas.
Apa itu rank?
Banyaknya pivot setelah eliminasi, yaitu banyaknya persamaan yang bebas. Sistem persegi memiliki penyelesaian tunggal tepat ketika rank sama dengan banyaknya bilangan tak diketahui, yaitu ketika determinan tak nol.
Berlatihlah sendiri
Latih Matriks & determinan
Kalkulator memberi jawabannya. Dalam ujian Anda perlu metodenya: latihlah dengan soal baru, petunjuk, dan pembahasan.