Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫14 1/x dx dengan kaidah Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
2.Metode numerikSulit
Selesaikan y′ = t + y, y(0) = 2 dengan metode Euler dan langkah h = 0,2 sampai t = 1. Solusi eksaknya y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Carilah galat global |E| = |y(1) − y5|.
y′ = t + yy(0) = 2h = 0,2
|E| =
3.Barisan & deretSedang
Deret pangkat Σk=1∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = 2. Carilah ujung kanan x interval itu.
Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2
x =
4.Barisan & deretSulit
Kenali deretnya dan carilah jumlahnya: S = Σk=1∞ k·0,2ᵏ.
ak = k·0,2ᵏ
S =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c12 (baris 1, kolom 2).
A = [2 2; −5 0]B = [6 5; 1 3]
c12 =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem −2x + 6y = 10 dan x + 2y = −2. Tentukan x.
−2x + 6y = 10x + 2y = −2
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,05 min⁻¹, cari suhunya T setelah 16 menit.
T0 = 6 °CTa = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 16 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 6 untuk x > 0, dengan y(1) = 2. Cari y(2).
y′ + y/x = 6y(1) = 2
y(2) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,03871
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Nilai eksak
I = 1,386294
Kaidah Simpson
S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425
Galat
|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871
Jawaban
|E| = 0,03871
Galat relatif: 2,792%.
2.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,6899
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y5 = 5,46496
Nilai eksak
y(1) = 6,154845
Galat global
|E| = |6,154845 − 5,46496| = 0,6899
Grafik
Jawaban
|E| = 0,6899
Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.
3.Barisan & deret
Jawaban: x = 4,718
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Jari-jari
R = 2,718
Selang
−0,7183 < x < 4,718
x = 4,718
Jawaban
x = 4,718
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: S = 0,3125
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Deret baku
Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²
Substitusikan
x = 0,2
S = 0,2/(1 − 0,2)² = 0,3125
Jawaban
S = 0,3125
5.Matriks & determinan
Jawaban: c12 = 16
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c12 = 2·5 + 2·3 = 16
Jawaban
c12 = 16
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = −3,2
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = (−2)·2 − 6·1 = −10
Ganti kolom x
det Aₓ = 10·2 − 6·(−2) = 32
x = 32/(−10) = −3,2
Jawaban
x = −3,2
y = 0,6
7.Persamaan diferensial
Jawaban: T = 14,81 °C
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum pendinginan
T(t) = 22 + (−16)·e−0,05t
Substitusikan t
T(16) = 22 + (−16)·0,4493 = 14,81 °C
Jawaban
T = 14,81 °C
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 5,5
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.