Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 440 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 30 °C. Setelah 26 menit suhunya 218 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 307 °C?

T₀ = 440 °CT_a = 30 °CT(26) = 218 °CT = 307 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 5 untuk x > 0, dengan y(1) = 3. Cari y(2).

y′ + y/x = 5y(1) = 3

y(2) =

3.IntegralSedang

Daerah di bawah y = √(x) dari x = 0 sampai x = 3 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah paraboloid).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 3

V =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x² dan y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 4). Tentukan f′(2).

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 12x² + 45x − 2. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 2

x =

7.Metode numerikSedang

Kelajuan sebuah kendaraan diukur setiap 1 s (tabel). Taksir jarak s yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 4 s dengan kaidah Simpson.

h = 1 sn = 4

s = m

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,5 untuk y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Carilah y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,5

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 13,08 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(410/188)/26 = 0,02999 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(410/277)/0,02999 = 13,08 min

Jawaban

t = 13,08 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 5,25

Faktor integrasi

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integralkan

(x¹y)′ = 5x → x¹y = 5x²/2 + C

Kondisi awal

3 = 5/2 + C → C = 0,5

Hitung nilainya

y(2) = (5·2²/2 + 0,5)/2¹ = 5,25

Jawaban

y(2) = 5,25

3.Integral

Jawaban: V = 14,14

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀³ x dx

Integralkan

V = π·1·3²/2 = 14,14

Jawaban

V = 14,14

4.Integral

Jawaban: A = 0,6667

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Jawaban

A = 0,6667

5.Turunan

Jawaban: f′(2) = 0,5

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Substitusikan

f′(2) = 4/8 = 0,5

Jawaban

f′(2) = 0,5

6.Turunan

Jawaban: x = 5

Turunan

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 5

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 24: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

Jawaban

x = 5

7.Metode numerik

Jawaban: s = 53,67 m

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Jumlah berbobot

8 + 4·13 + 2·15 + 4·14 + 15 = 161

Kaidah Simpson

s = (1/3)·161 = 53,67 m

Jawaban

s = 53,67 m

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = 0,716

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, 0,5) = 0,25

k₂ = f(0,25, 0,5625) = 0,378906

k₃ = f(0,25, 0,594727) = 0,4162

k₄ = f(0,5, 0,7081) = 0,751405

Gabungkan

y₁ = 0,5 + (0,5/6)(0,25 + 2·0,378906 + 2·0,4162 + 0,751405) = 0,716

Jawaban

y₁ = 0,716

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations