Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 92 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 19 °C. Setelah 20 menit suhunya 46 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 92 °CT_a = 19 °CT(20) = 46 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 400 L air yang melarutkan 5 kg garam. Air garam dengan 0,1 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 5 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 30 kg garam?

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x² dan y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (2x + 3)⁵. Tentukan f′(−1).

f(x) = (2x + 3)⁵x = −1

f′(−1) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 3. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 3

x =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀^1,5 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 4 pita. Berikan T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

T =

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,2 untuk y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Carilah y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04973 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−20k = 27/73

Selesaikan untuk k

k = ln(73/27)/20 = 0,04973 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04973 min⁻¹

2.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 100,2 min

Hasil

m(t) = 40 + (−35)·e^−t/80

Selesaikan untuk t

e^−t/80 = (40 − 30)/(40 − 5) = 0,2857

t = 80·ln(3,5) = 100,2 min

Jawaban

t = 100,2 min

3.Integral

Jawaban: I = 0,3012

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiturunan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limit

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Jawaban

I = 0,3012

4.Integral

Jawaban: A = 5,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Jawaban

A = 5,333

5.Turunan

Jawaban: f′(−1) = 10

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(2x + 3)⁴·2

Substitusikan

f′(−1) = 5·1⁴·2 = 10

Jawaban

f′(−1) = 10

6.Turunan

Jawaban: x = −4

Turunan

f′(x) = 3x² + 21x + 36 = 3·(x² + 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −4 atau x = −3

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3

x = −4

Jawaban

x = −4

7.Metode numerik

Jawaban: T = 1,194

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,990257 + 2·0,871576 + 2·0,619958 + 0,406138 = 6,369719

Kaidah trapesium

T = (0,375/2)·6,369719 = 1,194

Jawaban

T = 1,194

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = 1,223

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 1,109778

k₃ = f(0,1, 1,110978) = 1,110869

k₄ = f(0,2, 1,222174) = 1,242008

Gabungkan

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·1,109778 + 2·1,110869 + 1,242008) = 1,223

Jawaban

y₁ = 1,223

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations