Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 2. Cari y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(1) =

2.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 2y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 10 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,75); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.75) =

3.IntegralSedang

Daerah di bawah y = 2x dari x = 0 sampai x = 2 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).

y = 2x0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 4). Tentukan f′(2).

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 0,5x² − 4x + 4 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 0,5x² − 4x + 4x = 3

b =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 6 pita. Berikan T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

T =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,5 untuk y′ = t − y, y(0) = 1 untuk menaksir y₃ ≈ y(1,5).

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,5

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,2071

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Konstanta dari nilai awal

A + B = 1, −3A − 4B = 2

A = 6, B = −5

Hitung nilainya

y(1) = 6·e⁻³ + (−5)·e⁻⁴ = 0,2071

Jawaban

y(1) = 0,2071

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.75) = 2,69

Akar kompleks

r = −1 ± 2j

Konstanta

A = 10, B = 1·10/2 = 5

Hitung nilainya

y(0,75) = e^−0,75(10·cos 1,5 + 5·sin 1,5) = 2,69

Jawaban

y(0,75) = 2,69

3.Integral

Jawaban: V = 33,51

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀² 4x² dx

Integralkan

V = π·4·2³/3 = 33,51

Jawaban

V = 33,51

Periksa: kerucut berjari-jari 4 dan tinggi 2 memiliki (1/3)πr²h = 33,51.

4.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

5.Turunan

Jawaban: f′(2) = 0,5

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Substitusikan

f′(2) = 4/8 = 0,5

Jawaban

f′(2) = 0,5

6.Turunan

Jawaban: b = −0,5

Titik dan kemiringan

f(3) = −3,5

f′(x) = x − 4 → f′(3) = −1

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3,5 − (−1)·3 = −0,5

Jawaban

b = −0,5

7.Metode numerik

Jawaban: T = 1,985

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,007782 + 2·1,06066 + 2·1,192424 + 2·1,414214 + 2·1,718466 + 2,09165 = 15,878742

Kaidah trapesium

T = (0,25/2)·15,878742 = 1,985

Jawaban

T = 1,985

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: y₃ = 0,9883

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 1 + (0,5/2)(−1 + 0) = 0,75

y₂ = 0,75 + (0,5/2)(−0,25 + 0,375) = 0,78125

y₃ = 0,78125 + (0,5/2)(0,21875 + 0,609375) = 0,988281

Grafik

y₃ = 0,9883

Jawaban

y₃ = 0,9883

Nilai eksaknya adalah y(1,5) = 0,94626.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations