Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 92 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 24 °C. Setelah 24 menit suhunya 40 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 66 °C?

T₀ = 92 °CT_a = 24 °CT(24) = 40 °CT = 66 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 100 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,05 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 5 menit?

V = 100 Lm₀ = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.IntegralSedang

Daerah di bawah y = 3x dari x = 0 sampai x = 3 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).

y = 3x0 ≤ x ≤ 3

V =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(2x² + 2). Tentukan f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −1

f′(−1) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 2x² + 2x + 4 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 2x² + 2x + 4x = −1

b =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀¹ √(1 + x³) dx dengan kaidah Simpson memakai n = 2 pita. Berikan S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

8.Metode numerikSulit

Selesaikan y′ = t − y, y(0) = 3 dengan metode Euler dan langkah h = 0,1 sampai t = 0,3. Solusi eksaknya y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t. Carilah galat global |E| = |y(0,3) − y₃|.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,1

|E| =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 7,992 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(68/16)/24 = 0,06029 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(68/42)/0,06029 = 7,992 min

Jawaban

t = 7,992 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 6,839 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 20·0,05 − (20/100)·m = 1 − 0,2·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 5 + 5·e^−t/5

Substitusikan t

m(5) = 5 + 5·0,3679 = 6,839 kg

Jawaban

m = 6,839 kg

3.Integral

Jawaban: V = 254,5

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀³ 9x² dx

Integralkan

V = π·9·3³/3 = 254,5

Jawaban

V = 254,5

Periksa: kerucut berjari-jari 9 dan tinggi 3 memiliki (1/3)πr²h = 254,5.

4.Integral

Jawaban: A = 10,67

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

5.Turunan

Jawaban: f′(−1) = −1

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Substitusikan

f′(−1) = −4/4 = −1

Jawaban

f′(−1) = −1

6.Turunan

Jawaban: b = 2

Titik dan kemiringan

f(−1) = 4

f′(x) = 4x + 2 → f′(−1) = −2

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−2)·(−1) = 2

Jawaban

b = 2

7.Metode numerik

Jawaban: S = 1,109

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,06066 + 1,414214 = 6,656854

Kaidah Simpson

S = (0,5/3)·6,656854 = 1,109

Jawaban

S = 1,109

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,04727

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₃ = 2,216

Nilai eksak

y(0,3) = 2,263273

Galat global

|E| = |2,263273 − 2,216| = 0,04727

Grafik

Jawaban

|E| = 0,04727

Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations