Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 81 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 21 °C. Setelah 28 menit suhunya 32 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 81 °CT_a = 21 °CT(28) = 32 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 500 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,1 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 10 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 26 kg garam?

V = 500 Lm₀ = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.IntegralSedang

Daerah di bawah y = √(x) dari x = 0 sampai x = 2 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah paraboloid).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 6x² + 9x + 5. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 5

x =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀² x³ dx dengan kaidah trapesium, n = 4, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4

|E| =

8.Metode numerikSulit

Selesaikan y′ = −2ty, y(0) = 3 dengan metode Euler dan langkah h = 0,1 sampai t = 0,4. Solusi eksaknya y = y₀e^−t². Carilah galat global |E| = |y(0,4) − y₄|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,1

|E| =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,06059 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−28k = 11/60

Selesaikan untuk k

k = ln(60/11)/28 = 0,06059 min⁻¹

Jawaban

k = 0,06059 min⁻¹

2.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 25,54 min

Hasil

m(t) = 50 + (−40)·e^−t/50

Selesaikan untuk t

e^−t/50 = (50 − 26)/(50 − 10) = 0,6

t = 50·ln(1,667) = 25,54 min

Jawaban

t = 25,54 min

3.Integral

Jawaban: V = 6,283

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Metode cakram

V = π∫₀² x dx

Integralkan

V = π·1·2²/2 = 6,283

Jawaban

V = 6,283

4.Integral

Jawaban: A = 1,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

5.Turunan

Jawaban: f′(2) = 5,482

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substitusikan

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Jawaban

f′(2) = 5,482

6.Turunan

Jawaban: x = 3

Turunan

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 3

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Jawaban

x = 3

7.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,25

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 4

Kaidah trapesium

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 2·1 + 2·3,375 + 8) = 4,25

Galat

|E| = |4,25 − 4| = 0,25

Jawaban

|E| = 0,25

Galat relatif: 6,25%.

8.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,09662

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₄ = 2,653056

Nilai eksak

y(0,4) = 2,556431

Galat global

|E| = |2,556431 − 2,653056| = 0,09662

Grafik

Jawaban

|E| = 0,09662

Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations