Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Batas galat trapesium
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

  1. Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
  2. Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
  3. Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
  4. Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)59Ta​T = ?

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 380 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 24 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,02 min⁻¹, cari suhunya T setelah 59 menit.

T0 = 380 °CTa = 24 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 59 min
T = °C
2.Persamaan diferensialSulit
tyK = 10y(1) = ?

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 25,25y = 252,5 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 25,25y = 252,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3.IntegralSedang
xy13y = x ln x

Hitung I = ∫₁3 x·ln x dx.

∫₁3 x ln x dx
I =
4.IntegralSulit
xy0,5y = x²eˣ

Hitung I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.

∫₀0,5 x²eˣ dx
I =
5.TurunanSedang
xyx = 1,5

Misalkan f(x) = x3·e2x. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x3·e2xx = 1,5
f′(1.5) =
6.TurunanSulit
xy

Misalkan f(x) = x3 + 10,5x2 + 36x + 2. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x3 + 10,5x2 + 36x + 2
x =
7.Metode numerikSedang

Kaidah trapesium dipakai untuk ∫02 sin x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 2]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
8.Metode numerikSulit
00,51−2−1,5−1ty(0, −1)

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,5 untuk y′ = t + y, y(0) = −1 untuk menaksir y2 ≈ y(1).

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,5
y2 =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 133,4 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 24 + 356·e−0,02t

Substitusikan t

T(59) = 24 + 356·0,3073 = 133,4 °C

Jawaban

T = 133,4 °C
2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 8,861

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

yss = 10, r = −0,5 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −1

Hitung nilainya

y(1) = 10·(1 − e−0,5(cos 5 + 0,1·sin 5)) = 8,861

Jawaban

y(1) = 8,861
3.Integral

Jawaban: I = 2,944

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Jawaban

I = 2,944
4.Integral

Jawaban: I = 0,0609

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Jawaban

I = 0,0609
5.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = 271,2

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e2x·(3x2 + 2·x3)

Substitusikan

f′(1,5) = 20,09·(6,75 + 6,75) = 271,2

Jawaban

f′(1,5) = 271,2
6.Turunan

Jawaban: x = −3

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Turunan

f′(x) = 3x2 + 21x + 36 = 3·(x2 + 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −4 atau x = −3

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3
x = −3

Jawaban

x = −3
7.Metode numerik

Jawaban: n = 26

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Batas turunan kedua

M = |sin(π/2)| = 1

Selesaikan untuk n

n² > 8·1/(12·0,001) = 666,7
n > 25,82 → n = 26

Jawaban

n = 26
8.Metode numerik

Jawaban: y2 = −2

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00−1−1−1−1,510,5−1,5−1−1−2

Langkah Heun

y₁ = −1 + (0,5/2)(−1 − 1) = −1,5
y₂ = −1,5 + (0,5/2)(−1 − 1) = −2
00,51−2−1,5−1ty

Grafik

y2 = −2

Jawaban

y2 = −2

Nilai eksaknya adalah y(1) = −2.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations