Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 4 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 29 °C. Setelah 26 menit suhunya 24 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 27 °C?

T₀ = 4 °CT_a = 29 °CT(26) = 24 °CT = 27 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 25,25y = 25,25 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1,5); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

4.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 1). Tentukan f′(2).

f(x) = ln(x² + 1)x = 2

f′(2) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = x² − 2x + 2 di x = −2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = x² − 2x + 2x = −2

b =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀¹ eˣ dx dengan kaidah trapesium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Metode numerikSulit

Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,2 untuk y′ = e^−ty, y(0) = 1. Carilah y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 40,8 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(-25/-5)/26 = 0,0619 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(-25/(−2))/0,0619 = 40,8 min

Jawaban

t = 40,8 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,792

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 1, r = −0,5 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,1

Hitung nilainya

y(1,5) = 1·(1 − e^−0,75(cos 7,5 + 0,1·sin 7,5)) = 0,792

Jawaban

y(1,5) = 0,792

3.Integral

Jawaban: I = 23,5

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Jawaban

I = 23,5

4.Integral

Jawaban: I = 0,7183

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Jawaban

I = 0,7183

5.Turunan

Jawaban: f′(2) = 0,8

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Substitusikan

f′(2) = 4/5 = 0,8

Jawaban

f′(2) = 0,8

6.Turunan

Jawaban: b = −2

Titik dan kemiringan

f(−2) = 10

f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − (−6)·(−2) = −2

Jawaban

b = −2

7.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,03565

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 1,718282

Kaidah trapesium

T = (0,5/2)·(1 + 2·1,648721 + 2,718282) = 1,753931

Galat

|E| = |1,753931 − 1,718282| = 0,03565

Jawaban

|E| = 0,03565

Galat relatif: 2,075%.

8.Metode numerik

Jawaban: y₁ = 1,179

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat kemiringan

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,1, 1,1) = 0,895834

k₃ = f(0,1, 1,089583) = 0,896768

k₄ = f(0,2, 1,179354) = 0,789883

Gabungkan

y₁ = 1 + (0,2/6)(1 + 2·0,895834 + 2·0,896768 + 0,789883) = 1,179

Jawaban

y₁ = 1,179

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations