Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,08 min⁻¹, cari suhunya T setelah 14 menit.

T₀ = 6 °CT_a = 22 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 14 min

T = °C

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 16,25y = 81,25 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 16,25y = 81,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(3x² + 1). Tentukan f′(1).

f(x) = ln(3x² + 1)x = 1

f′(1) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 3. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 3

x =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 4 pita. Berikan T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4

T =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,5 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 3 untuk menaksir y₂ ≈ y(1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5

y₂ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 16,78 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 22 + (−16)·e^−0,08t

Substitusikan t

T(14) = 22 + (−16)·0,3263 = 16,78 °C

Jawaban

T = 16,78 °C

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 7,269

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 5, r = −0,5 ± 4j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −0,625

Hitung nilainya

y(1) = 5·(1 − e^−0,5(cos 4 + 0,125·sin 4)) = 7,269

Jawaban

y(1) = 7,269

3.Integral

Jawaban: I = 2,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Jawaban

I = 2,333

4.Integral

Jawaban: A = 10,67

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

5.Turunan

Jawaban: f′(1) = 1,5

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Substitusikan

f′(1) = 6/4 = 1,5

Jawaban

f′(1) = 1,5

6.Turunan

Jawaban: x = 4

Turunan

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 4

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 15: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Jawaban

x = 4

7.Metode numerik

Jawaban: T = 1,352

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,970143 + 2·0,707107 + 2·0,406138 + 0,242536 = 5,409311

Kaidah trapesium

T = (0,5/2)·5,409311 = 1,352

Jawaban

T = 1,352

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: y₂ = 1,632

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 3 + (0,5/2)(−2 − 1,122417) = 2,219396

y₂ = 2,219396 + (0,5/2)(−1,341813 − 1,008187) = 1,631896

Grafik

y₂ = 1,632

Jawaban

y₂ = 1,632

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations