Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integral umum
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva
∫ab (f − g) dx

Metode

  1. Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
  2. Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk ex, 1/x, sin, dan cos.
  3. Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
  4. Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian
(uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

  1. Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
  2. Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
  3. Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
  4. Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Batas galat trapesium
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

  1. Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
  2. Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
  3. Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
  4. Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang
t (min)T (°C)26Ta​47 °C

Secangkir kopi bersuhu 90 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 24 °C. Setelah 26 menit suhunya 47 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T0 = 90 °CTa = 24 °CT(26) = 47 °C
k = min⁻¹
2.Persamaan diferensialSulit
ty1,5y(1,5) = ?

Selesaikan y′ + 3y = 6e−t dengan y(0) = 1. Cari y(1,5).

y′ + 3y = 6e−ty(0) = 1
y(1.5) =
3.IntegralSedang
xy26

Hitung I = ∫26 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 6]
I =
4.IntegralSulit
xy−33

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 9 − x² dan sumbu x.

y = 9 − x²
A =
5.TurunanSedang
xyx = 2

Misalkan f(x) = (3x − 3)5. Tentukan f′(2).

f(x) = (3x − 3)5x = 2
f′(2) =
6.TurunanSulit
xyx = −1

Garis singgung f(x) = −x2 − 3x + 3 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x2 − 3x + 3x = −1
b =
7.Metode numerikSedang

Kaidah trapesium dipakai untuk ∫12 1/x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [1, 2]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
8.Metode numerikSulit
00,511,5−2−1ty(0, −1)

Pakai metode Euler dengan h = 0,5 untuk y′ = t + y, y(0) = −1 untuk menaksir y3 ≈ y(1,5).

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,5
y3 =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04054 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e−26k = 23/66

Selesaikan untuk k

k = ln(66/23)/26 = 0,04054 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04054 min⁻¹
2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,6472

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e3t
(e3ty)′ = 6e2t

Penyelesaian umum

y = 6/2·e−t + C·e−3t = 3·e−t + C·e−3t

Kondisi awal

1 = 3 + C → C = −2

Hitung nilainya

y(1,5) = 3·0,2231 + (−2)·0,01111 = 0,6472

Jawaban

y(1,5) = 0,6472
3.Integral

Jawaban: I = 3,296

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 3·ln x

Substitusikan batasnya

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3,296

Jawaban

I = 3,296
4.Integral

Jawaban: A = 36

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Pembuat nol

9 − x² = 0 → x = ±3

Integralkan

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Jawaban

A = 36
5.Turunan

Jawaban: f′(2) = 1215

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(3x − 3)4·3

Substitusikan

f′(2) = 5·34·3 = 1215

Jawaban

f′(2) = 1215
6.Turunan

Jawaban: b = 4

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Titik dan kemiringan

f(−1) = 5
f′(x) = −2x − 3 → f′(−1) = −1

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−1)·(−1) = 4

Jawaban

b = 4
7.Metode numerik

Jawaban: n = 130

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Batas turunan kedua

M = 2/1³ = 2

Selesaikan untuk n

n² > 1·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 16667
n > 129,1 → n = 130

Jawaban

n = 130
8.Metode numerik

Jawaban: y3 = −2,5

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00−1−1−1,510,5−1,5−1−221−2−1−2,5

Langkah Euler

y₁ = −1 + 0,5·(−1) = −1,5
y₂ = −1,5 + 0,5·(−1) = −2
y₃ = −2 + 0,5·(−1) = −2,5
00,511,5−2−1ty

Grafik

y3 = −2,5

Jawaban

y3 = −2,5

Nilai eksaknya adalah y(1,5) = −2,5.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations