Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Secangkir kopi bersuhu 87 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 21 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,09 min⁻¹, cari suhunya T setelah 16 menit.

T₀ = 87 °CT_a = 21 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 16 min

T = °C

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 100 L air murni. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 2 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 8 kg garam?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

4.IntegralSulit

Daerah di antara garis y = 2x dan parabola y = 2x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 2xy = 2x²

V =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^−0,5x. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 6x² + 9x + 5. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ + 6x² + 9x + 5

x =

7.Metode numerikSedang

Kaidah trapesium dipakai untuk ∫₁² 1/x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [1, 2]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0001

n =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,2 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 untuk menaksir y₂ ≈ y(0,4).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2

y₂ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 36,64 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 21 + 66·e^−0,09t

Substitusikan t

T(16) = 21 + 66·0,2369 = 36,64 °C

Jawaban

T = 36,64 °C

2.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 19,28 min

Hasil

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/50

Selesaikan untuk t

e^−t/50 = (25 − 8)/(25 − 0) = 0,68

t = 50·ln(1,471) = 19,28 min

Jawaban

t = 19,28 min

3.Integral

Jawaban: I = 0,7869

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Substitusikan batasnya

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

Jawaban

I = 0,7869

4.Integral

Jawaban: V = 1,676

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Metode cincin (washer)

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

Integralkan

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Jawaban

V = 1,676

5.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = 0,8857

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Substitusikan

f′(1,5) = 0,4724·(3 + (−1,125)) = 0,8857

Jawaban

f′(1,5) = 0,8857

6.Turunan

Jawaban: x = −3

Turunan

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = −1

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −3

Jawaban

x = −3

7.Metode numerik

Jawaban: n = 41

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Batas turunan kedua

M = 2/1³ = 2

Selesaikan untuk n

n² > 1·2/(12·0,0001) = 1667

n > 40,82 → n = 41

Jawaban

n = 41

8.Metode numerik

Jawaban: y₂ = 0,8488

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 0,5 + (0,2/2)(0,75 + 0,8775) = 0,66275

y₂ = 0,66275 + (0,2/2)(0,886262 + 0,974401) = 0,848816

Grafik

y₂ = 0,8488

Jawaban

y₂ = 0,8488

Nilai eksaknya adalah y(0,4) = 0,851794.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations