Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 0. Cari y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(2) =

2.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 3y′ + 18,25y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,75); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.75) =

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

4.IntegralSulit

Daerah di antara garis y = 5x dan parabola y = 2x² diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu.

y = 5xy = 2x²

V =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = −x² − 3x − 3 di x = −1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x² − 3x − 3x = −1

b =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀³ √x·e^−x dx dengan kaidah trapesium memakai n = 4 pita. Berikan T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 4

T =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,25 untuk y′ = cos t − y, y(0) = −1 untuk menaksir y₃ ≈ y(0,75).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 1,218

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Konstanta

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 0 + 3 = 3

Hitung nilainya

y(2) = (3 + 3·2)·e⁻² = 1,218

Jawaban

y(2) = 1,218

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.75) = −1,521

Akar kompleks

r = −1,5 ± 4j

Konstanta

A = 5, B = 1,5·5/4 = 1,875

Hitung nilainya

y(0,75) = e^−1,125(5·cos 3 + 1,875·sin 3) = −1,521

Jawaban

y(0,75) = −1,521

3.Integral

Jawaban: I = 1,5

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Jawaban

I = 1,5

4.Integral

Jawaban: V = 163,6

Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.

Titik potong

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Metode cincin (washer)

V = π∫₀^2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Integralkan

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Jawaban

V = 163,6

5.Turunan

Jawaban: f′(1) = 0,077

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Substitusikan

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Jawaban

f′(1) = 0,077

6.Turunan

Jawaban: b = −2

Titik dan kemiringan

f(−1) = −1

f′(x) = −2x − 3 → f′(−1) = −1

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−1)·(−1) = −2

Jawaban

b = −2

7.Metode numerik

Jawaban: T = 0,6627

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,409081 + 2·0,273278 + 2·0,158099 + 0,0862337 = 1,767149

Kaidah trapesium

T = (0,75/2)·1,767149 = 0,6627

Jawaban

T = 0,6627

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

8.Metode numerik

Jawaban: y₃ = −0,01529

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = −1 + (0,25/2)(2 + 1,468912) = −0,566386

y₂ = −0,566386 + (0,25/2)(1,535298 + 1,060144) = −0,241956

y₃ = −0,241956 + (0,25/2)(1,119538 + 0,69376) = −0,0152934

Grafik

y₃ = −0,01529

Jawaban

y₃ = −0,01529

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations